，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．2可求解；2需分2→→→直线l的斜率存在或不存在两种情况讨论．设Ax1，y1，Bx2，y2，由条件OP＝OA＋OB审题破题1由直线l的斜率为1过焦点F，原点O到l的距离为可得P点坐标，结合A、B、P在椭圆上列等式消元求解．0－0－c1设Fc0，当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，O到l的距离为＝2cc2，故＝，c＝1222c3由e＝＝，得a＝3，b＝a2－c2＝2a3→→→2C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP＝OA＋OB成立．解由1知C的方程为2x2＋3y2＝6设Ax1，y1，Bx2，y2．当l不垂直于x轴时，设l的方程为y＝kx－1．→→→C上的点P使OP＝OA＋OB成立的充要条件是P点坐标为x1＋x2，y1＋y2，且2x1＋x22
222＋3y1＋y22＝6，整理得2x21＋3y1＋2x2＋3y2＋4x1x2＋6y1y2＝6，222又A、B在椭圆C上，即2x21＋3y1＝62x2＋3y2＝6，
故2x1x2＋3y1y2＋3＝0将y＝kx－1代入2x＋3y＝6，并化简得
22
①
2＋3k2x2－6k2x＋3k2－6＝0，3k2－66k2于是x1＋x2＝x2＝，2，x12＋3k2＋3k2－4k2y1y2＝k2x1－1x2－1＝2＋3k23代入①解得k2＝2，此时x1＋x2＝23kk于是y1＋y2＝kx1＋x2－2＝－，即P2，－2232因此，当k＝－2时，P，，l的方程为2x＋y－2＝0；2232当k＝2时，P，－，l的方程为2x－y－2＝022→→→→→当l垂直于x轴时，由OA＋OB＝20知，C上不存在点P使OP＝OA＋OB成立．
f32→→→综上，C上存在点P，±使OP＝OA＋OB成立，此时l的方程为2x±y－2＝022反思归纳解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤：1设方程及点的坐标；2联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程注意二次项系数是否为零；3应用根与系数的关系及判别式；4结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．x2y2变式训练32013浙江如图，点P0，－1是椭圆C1：2＋2＝ab1ab0的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D1求椭圆C1的方程；2求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．b＝1，解1由题意得a＝2x2所以椭圆C1的方程为＋y2＝142设Ax1，y1，Bx2，y2，Dx0，y0．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离1d＝2，k＋1所以AB＝24－d＝2
2
4k2＋3k2＋1
又l2⊥l1，r