）在△ABC中，∵ABAC，
∴∠ABC∠C．
A
∵DE∥BC，∴∠ABC∠E，
∴∠E∠C．又∵∠ADB∠C，∴∠ADB∠E．
B
O
E
D
（2）当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线．
理由是：当点D是弧BC的中点时，则有AD⊥BC，且AD过圆心O．
又∵DE∥BC，∴AD⊥ED．
A
∴DE是⊙O的切线．
（3）连结BO、AO，并延长AO交BC于点F，则AF⊥BC，且BF1BC3．
2又∵AB5，∴AF4．
B
O
F
C
设⊙O的半径为r，在Rt△OBF中，OF4－r，OBr，BF3，
CD
C
∴r2＝32＋（4－r）2
解得r＝25，∴⊙O的半径是25．
8
8
【点评】本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓
住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论
【例4】已知：如图7，点P是半圆O的直径BA延长线上的点，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D点，若PA：PC＝1：2，DB＝4，求ta
∠PCA及PC的长。
f图7证明：连结CB
∵PC切半圆O于C点，∴∠PCA＝∠B∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB∴AC：BC＝PA：PC
∴∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°又∵CD⊥AB
∴∴AB＝AD＋DB＝5∵
∴【例5】已知：如图8，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D。
求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB＋EB＝AC
分析：（1）欲证AC与⊙D相切，只要证圆心D到AC的距离等于⊙D的半径BD。因此要作DF⊥AC于F（2）只要证AC＝AF＋FC＝AB＋EB，证明的关键是证BE＝FC，这又转化为证△EBD≌△CFD。
证明：（1）如图8，过D作DF⊥AC，F为垂足∵AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，∴DB＝DF∴点D到AC的距离等于圆D的半径∴AC是⊙D的切线（2）∵AB⊥BD，⊙D的半径等于BD，∴AB是⊙D的切线，∴AB＝AF∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED＝CD，BD＝FD∴△BED≌△FCD，∴BE＝FC∴AB＋BE＝AF＋FC＝AC小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类【例6】已知：如图9，AB为⊙O的弦，P为BA延长线上一点，PE与⊙O相切
于点E，C为中点，连CE交AB于点F。求证：分析：由已知可得PE2＝PAPB，因此要证PF2＝PAPB，只要证PE＝PF。即证∠PFE＝∠PEF。
f证明一：如图9，作直径CD，交AB于点G，连结ED，∴∠CED＝90°
∵点C为的中点，∴CD⊥AB，∴∠CFG＝∠D∵PE为⊙O切线，E为切点∴∠PEF＝∠D，∴∠PEF＝∠CFG∵∠CFG＝∠PFE，∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF∵PE2＝PAPB，r