2012年高水平大学自主选拔学业能力测试数学
（华约）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足
PBPAPBPA2PC0，则△ABC一定为
A．直角三角形；B等边三角形；C等腰直角三角形；D等腰三角形2．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为______
A7
7B
C3
3D
2
2
3设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则
所作四面体的体积为______
A1
B2
C3
D4
4计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数
时按下这个按键，会等可
能的将其替换为0
1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使
得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是
A
B
C
D
5．已知R，直线
x

y
1与
si
si
si
cos
x

y
1的交点在直线yx上，
cossi
coscos
则si
cossi
cos
。
A0
B1
C1
D2
6．设
f
x

112lgx
114lgx
118lgx
，则
f
x

f
1x

_________
。
A1
B2
C3
D4
7．已知cos41，则si
4cos4
．
5
A45
B35
C1
D45
8．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCDABCD中，AB1，AAA，C两点间的球面距离为（）
2，则
A．
B．
C．24
D．22
9在平面直角坐标系内，将适合xyx3y3且使关于t的方程
19
fx3y3t43xyt210没有实数根的点xy所成的集合记为N，则由点xy
集N所成区域的面积为
。
A814
B834
C815
D835
10已知椭圆x2y21的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线43
l交椭圆于点P、Q，则△F1PQ内切圆面积的最大值是
．
A
B
C
D
二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
一．设fxx2bxcbcR．若x≥2时，fx≥0，且fx在区间23上的
最大值为1，求b2c2的最大值和最小值．
二、已知椭圆
C：
x2a2

y2b2
1（a
b0），其离心率为45
，两准线之间的距离为
25。2
（1）求ab之值；
（2）设点A坐标为60，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程。
三（本小题满分25分）已知数列a
中的相邻两项a2k1，a2k是关于x的方程x2－（3k2k）x3k×2k0的两个根
（1）求数列a
的前2
项和S2

（2）记f（
）1（si
3），T
（1）fr