bDx1y1Ex1y1
由
yy
kx24x
b得k
2
x
2

2kb

2x

b2

0

kAD
kAE

2
y12x11

y2x2
21

2x1x2
1
且y1kx1by2kx2b
k22x1x2kb2k2x1x2b2220
将x1

x2

2kb2k2
x1x2

b2k2
代入化简得b2

k
22b

k
2
bk2
将bk2代入ykxb得ykxk2kx12过定点12
将b2k代入ykxb得ykx2kkx12过定点12不合舍去
定点为12
【例8】已知曲线x2y21a0b0的离心率e23，直线l过A（a，0）、
a2b2
3
B（0，－b）两点，原点O到l的距离是32
（Ⅰ）求双曲线的方程；
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f（Ⅱ）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若OMON23，求直线m的方程
解：（Ⅰ）依题意，l方程xy1即bxayab0由原点O到l的距离ab
为3，得
2
abab3a2b2c2
故所求双曲线方程为x2y213
又ec23
a3
b1a3
（Ⅱ）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为ykx－1，则点M、N坐标（x1y1）、
（x2y2）是方程组
ykx1

x23

y2
1
的解
消去y，得13k2x26kx60①
依设，13k2

0由根与系数关系，知x1
x2

6k
3k2
1
x1x2

63k21
OMONx1y1x2y2x1x2y1y2x1x2kx11kx21
1
k2x1x2

kx1

x2
161k2
3k21

6k3k2
2

1

1

3k
6
2

1

1
OMON23
∴
3k
6
2

1

1
－23，k±
12
当k±1时，方程①有两个不等的实数根2
故直线l方程为y1x1或y1x1
2
2
【例9】
已知动点P与双曲线x2y2
23
1的两个焦点F1、F2的距离之和为定
值，且
cosF1PF2
的最小值为

19
．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若已知D03，M、N在动点P的轨迹上且DMDN，求实数的取值范
围．
解：（1）由已知可得：c5，a2a22c21
2a2
9
∴a29b2a2c24
∴所求的椭圆方程为x2y2194
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f2方法一：
由题知点D、M、N共线，设为直线m，当直线m的斜率存在时，设为k，则直线m的
方程为ykx3代入前面的椭圆方程得
49k2x254k450
①
由判别式54k2449k2450，得k259
再设Mx1y1Nr