分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB∴∠DEA＝∠DAE∴DE＝AD同理可得，∴CF＝BC又∴在□ABCD中，AD＝BC，∴DE＝CF∴DE－EF＝CF－EF，即DF＝CE
例2已知如图3所示，在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC。
（1）猜想AE与BF有何关系？说明理由；（2）若△ABC面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由。
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图3分析：根据图形旋转的性质可证△ACE≌△FCB，其实旋转变换后，△ABC与△FEC关于点C成中心对称；欲判断□ABFE为矩形，可考虑证明对角线AF＝BE，再探求∠ACB的度数。解：（1）旋转可知，AC＝CF，BC＝CE，∠ACE＝∠BCF∴△ACE≌△FCB，∴AE＝BF，∠EAF＝∠BFA∴AE∥BF即AE与BF的关系为平行且相等（2）由（1）知：S△ACES△BCF又∵BC＝CE，∴S△ABCS△ACE同理，S△CEFS△BCF
S∴四边形ABFE3412cm2
（3）当∠ACB＝60°时，四边形ABFE为矩形理由：∵BC＝CE，AC＝CF，∴四边形ABFE为平行四边形。当∠ACB＝60°时，△ABC为等边三角形。∴BC＝AC，∴AF＝BE，∴四边形ABFE为矩形。
例3将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图4所示的四边形ABCD。（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果两张纸片的长都是8，宽都是2那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最
小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由。
图4分析：第（1）题寻求AD、AB的数量关系，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判别；第（2）题，动手进行实验操作以寻求两矩形纸片的特殊位置关系①互相垂直；②对角线重合时，探求菱形ABCD周长的最大值、最小值解：（1）如图5所示，∵AD∥BC，∴AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形分别过点B、D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足为点F、E，则DE＝BF∵∠DAE＝∠BAF，∴Rt△DAE≌Rt△BAF，∴AD＝AB∴四边形ABCD是菱形
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图5（2）存在最大值和最小值①当∠DAB＝90°时，菱形ABCD为正方形，周长最小值为8；②当AC为矩形纸片的对角线时，设AB＝x，如图6所示
在Rt△BCG中，x28x222，x174
∴周长最大值为17
图6
例4如图7所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于点E，DE＝a，∠DBC45°，∠ACB30°。求梯形ABCD的面积。
图7分析：梯形问题一般通过添加辅助线转化为平行四边形和特殊的三角形的问题进行解决。解：方法一：过D作DF∥AC，交BC的延长线于点F。易知：S△ABDS△DCF，即S梯形ABCDS△BDF∵∠DBC＝45°，∴∠Dr