11
22
12
21
2
，

1
2
1
2
P2k
005
k
3841
0016635
（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将22列联表中的数据代入公式计算，得
2

11
22
12
212
100301045152

100

3030

1
2
1
2
7525455533
因为30303841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关
f（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为025，将频率视为概率，即从观众中抽取一
名“体育迷”的概率为14
由题意X
B

3
14

，从而
X
的分布列为
X
0
1
2
3
P
27
27
9
1
64
64
64
64
EX
p313，DX
p1p3139
44
4416
20（本小题满分12分）
如图，椭圆C0
x2a2

y2b2
1ab0ab为常数
，
动圆C1x2y2t12bt1a点A1A2分别为C0的
左、右顶点，C1与C0相交于ABCD四点
（1）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
（2）设动圆C2x2y2t22与C0相交于
ABCD四点，其中bt2a，t1t2若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，证明：t12t22
为定值
设Ax1y1Bx1y1，又知A1a0A2a0，则
直线A1A的方程为
yy1xa①
x1a
直线A2B的方程为
yy1xa
②
x1a
由①②得
y2

y12x12a2
x2a2
③
由点A
x1y1
在椭圆C0
上，故可得
x12a2

y12b2
1，从而有
y12b2
1
x12a2

，代入③得
x2a2

y2b2
1
xay0
f（2）证明：设Ax2y2，由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，得
4x1
y14x2
y2
x12y12x22y22，因为点
AA均在椭圆上，所以b2x12
1
x12a2

b2
x22

1
x22a2

由t1t2，知x1x2，所以x12x22a2。从而y12y22b2，因而t12t22a2b2为定值
21（本小题满分12分）
设fxl
x1x1axbabRab为常数，曲线yfx与直线y3x在00点相
2
切
（1）求ab的值；
（2）证明：当0x2时，fx9x
x6
（1）由yfx的图像过00点，代入得b1
由
yf
x
在00
处的切线斜率为
32
，又
y
x0


1x1
2
1x1
a

x
0

32
a
，得
a0
（2）（证法一）由均值不等式，当x0时，2x11x11x2，故x1x1
2
记hxfx9x，则hx1
x6
x12
1x1


54
x62

2
2
x1
x1


54
x62

4
x6
x1


54
x62


x63216x14x1x62
，令
g

x



x6
3
216

x1
，则当
0x2
时，
gx3x622160
因此gx在02内是减函数，又由g00，得gx0，所以hx0
因此hx在02内是减函数，又由h00，得hx0，于是当0x2时，fx9x
x6
（证法二）
由（1）知fxl
x1x11，由r