x1
【30】设
A
是


阶方阵，如果对于任一


维列向量
X
x


x2

都有
AX0，证明
A0

x

【31】选择题设a1a2a3是四元非齐次线性方程组AXB的三个解向量，且秩（A）3，
a11234Ta2a30123Tc表示任意常数，则线性方程组AXB的通解X等于
A1234Tc1111TC1234Tc2345T
B1234c0123TD1234c3456T
【32】选择题设A为
阶实距矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组
（1），AX0和（Ⅱ）；ATAX0，必有
A（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解；
B（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解；
C（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解；
D（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解；
【33】用消元法解下列线性方程组
2x12x2x36
1

x1

2x2

4x3

3
5x17x2x328
答x11x23x32
x1x22x33x41
2
32xx11

3x25x32x2x32x4
x4
34
3x15x22x32x410
答x11x21x30x41
【34】
第23页共35页
f线性代数习题集
取什么值时，线性方程组
x

x1


x2x2

x3x3

1

x1

x2

x3

2
有唯一解，无解，在有解的情况下，求出其解
答：当1时，且2，方程组有唯一解：
1x12
1x22
12x32
当1时，方程组有无穷多解，x11kx2k1x3k2
其中k1k2为任意常数。当2时，方程组无解
【35】求下列齐求次线性方程组的一个基础解系
x13x22x30

x1

5x2

x3

0
3x15x28x30
答a712
【36】
x1x23x3x403x1x23x34x40x15x29x38x40答a13320a23704
【37】求下列非齐次线性方程组的一个特解，及对应齐次方程组（导出组）的一个基础解系，
并写出一般解
x12x23x34x44

x1

x23x2

x3
x43x4
31
7x23x3x43
答0ka8360k0121。
第24页共35页
f线性代数习题集
第四章
【1】求下列矩阵的特征值与特征向量，判断它们是否与对角矩阵相似，如相似则将其化为对角
矩阵
41A3
3
605061
311
2A20
1
112
1

1
答：
A


1


P1

1

2
1
10
1
2
1


P1
AP

0
20
0
【2】如果矩阵A可逆，试证AB与BA的特征值相同。
00
1
0

02
【3】证明矩阵A与它的专置矩阵A的特征值相同。
【4】
设1，2是矩阵A的两个不同特征值，a1a2是分别属于1，2的特征向量。试证：a1a2不是A的特征向量。
【5】
求正交矩阵T，使TAT为对角形矩阵。
22
（1）A
2
1
02
0
122
2；
（2）A

2
24。
0

242
212
【6】已知

111是A


5r