l是函数fx的极小值点，也是最小值点2
所以，当两段铁丝的长度分别是l时，两个正方形的面积和最小
2
x
新课程标准数学选修22第一章课后习题解答（第15页共25页）
a
f2、如图所示，由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为a2x，高为x（1）无盖方盒的容积Vxa2x2x，0xa
2
（2）因为Vx4x34ax2a2x，
所以Vx12x28axa2
令Vx0，得xa（舍去），或xa
2
6
当x0a时，Vx0；当xaa时，Vx0
6
62
因此，xa是函数Vx的极大值点，也是最大值点6
所以，当xa时，无盖方盒的容积最大6
3、如图，设圆柱的高为h，底半径为R，
R
则表面积S2Rh2R2
由VR2h，得hVR2
因此，SR

2
R
VR2
2R2

2VR
2R2，
R
0
h
令SR2V4R0，解得R3V
R
2
当R03V时，SR0；2
（第3题）
当R3V时，SR02
因此，R
3
V2
是函数SR的极小值点，也是最小值点
此时，hVR2
23
V2
2R
新课程标准数学选修22第一章课后习题解答（第16页共25页）
f所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省
4、证明：由于
f
x

1

i1
xai2
，所以
f
x

2

i1
x
ai

令
f
x

0，得
x

1

i1
ai
，
可以得到，
x

1

i1
ai
是函数
f
x
的极小值点，也是最小值点
这个结果说明，用
个数据的平均值1

i1
ai
表示这个物体的长度是合理的，
这就是最小二乘法的基本原理
5、设矩形的底宽为xm，则半圆的半径为xm，半圆的面积为x2m2，
2
8
矩形的面积为ax2m2，矩形的另一边长为axm
8
x8
因此铁丝的长为lxxx2ax1x2a，0x8a
2
x4
4x

令lx12a0，得x8a（负值舍去）
4x2
4
当x08a时，lx0；当x8a8a时，lx0
4
4
因此，x8a是函数lx的极小值点，也是最小值点4
所以，当底宽为8am时，所用材料最省4
6、利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘单价由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润
新课程标准数学选修22第一章课后习题解答（第17页共25页）
f收入Rqpq251q25q1q2，
8
8
利润LRC25q1q21004q1q221q100，0q200
8
8
求导得L1q214
令L0，即1q210，q844
当q084时，L0；当q84200时，L0；
因此，q84是函数L的极大值点，也是最大值点
所以，产量为84时，利润L最大
习r