2013年福建省高中数学竞赛暨2013年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：2013年9月7日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1．已知数列a
满足a132，a
1a
2
（
N），则为。31【答案】3【解答】由a132，a
1a
2
知，
a
的最小值

a
a
12
1，a
1a
22
2，，a2a121，a132。
上述
个等式左右两边分别相加，得a

132。∴∴
a
aa325231
1，又
5时，
；
6时，
。

5
3a31
6时，
取最小值。3

2．对于函数yfx，xD，若对任意的x1D，存在唯一的x2D，使得
fx1fx2M，则称函数fx在D上的几何平均数为M。已知fxx3x21，
x1，2，则函数fxx3x21在1，2上的几何平均数M
【答案】。
5
【解答】∵当1x2时，fx3x22xx3x20，∴∴
fxx3x21在区间1，2上为增函数，其值域为1，5。
根据函数fx几何平均数的定义知，M5。
1123．若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足，则称a、b、c是调和的；abc
若满足ac2b，则称a、b、c是等差的。已知集合Mx
x2013，xZ，集
f合P是集合M的三元子集，即Pa，，bcM。若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”。则不同的“好集”的个数为【答案】1006。
112【解答】若a、b、c既是调和的，又是等差的，则abc，a2b，c4b。ac2b
即“好集”为形如2b，，b4b（b0）的集合。由“好集”是集合M的三元子集知，20134b2013，bZ，且b0。∴503b503，bZ，且b0。符合条件的b可取1006个值。∴“好集”的个数为1006。
2的最小值4．已知实数x，y满足xy14xy，且x1，则x1y
为【答案】27
。【解答】由xy14xy知，y∴
x1y2x4x1。x14x13x1x2112。x1x1
设x1t，则t0，3x12x13t22t11x1y26t1527。x1tt1当且仅当t，即t1，x2，y7时等r