2011年高中数学联赛福建省试题
一、填空题
1函数fxsi
xsi
xcosxcos4x的最大值为________
2已知S
、T
分别是等差数列a
与b
的前
项的和，且则a10a11____________b3b18b6b15S
2
1
12LT
4
2
a3若函数fxloga4x在区间12上为增函数，则a的取值范围是___________x
4如图，在四面体DABC中，已知DA⊥平面ABC，ABC是边长为2的正三角形，则当二面角ABDC的正切值为2时，四面体DABC的体积V______
5已知定义在R上的函数fx满足：（1f112当0x1时，fx03对任意的实数xy均有）1fxyfxy2f1xfy则f______________3
6已知数学xy满足条件3x24y248则x2y24x4x2y22x4y5的最大值为________________7已知正整数xyz满足条件xyz14x14y14z且xyz28则x2y2z2的最大值为___________________
8有5个乒乓球，其中有3个是新球，2个是旧球（即至少用过一次的球）。每次比赛，都拿其中的2个球用，用完后全部放回。设第二次比赛时取到新球的个数为ξ，则ξ的数学期望
Eξ___________
9对正整数
，设x
是关于x的方程
x32x
0的实数根，记a
1x
23L符号x表示不超过x的最大整数。则1a2a3a4La2011____________1005
1
f10在平面直角坐标系中，已知点集Ixyxy为整数，且0≤x≤50≤y≤5则以集合I中的顶点且位置不同的正方形的个数为_________
二、解答题11已知F1，F2分别是椭圆C：已知：若x1x2
x2y21的左右焦点，A（x1y1）Bx2y2在椭圆C上，的左右焦点，（在椭圆a2b2
1且AF2λF2B求λ的值。且求的值。2
12已知二次函数fxax2bxccba其图象过点（1，0）并与直线ya有公共点，已知二次函数其图象过点（，），并与直线有公共点，其图象过点，求证：求证：0≤
b1a
13．如图，设锐角ABC的外接圆为圆O过点B、C作圆O的两条切线，相交于点P．如图，的两条切线，过点连结AP交BC于点D，点E、F分别在边AC、AB上，使得DE∥BADF∥CA，、、∥∥求证：（1）求证：）（
BDAB22∠BCF∠BEFCDAC2
2
f14已知fxex1（e为自然对数的底数）。
x
（1）求证：fx≥0恒成立；
（2）求证：
1
352
1
e对一切正整数
均成立。
L2
2
2
2
e1
3
f15已知P1P2P3LP35是平面凸三十五边形的35个顶点，P1P2P3LP35中任何两个且r