2013年福建省高中数学竞赛
暨2013年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：2013年9月7日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线
上）
1．已知数列
a

满足
a1
32
，
a
1a

2

（

N
），则
a

的最小值
为
。
【答案】313
【解答】由a132，a
1a
2
知，
a
a
12
1，a
1a
22
2，……，a2a121，a132。
上述
个等式左右两边分别相加，得a

132。
∴a
132，又
5时，a
52；
6时，a
31。




5

3
∴
6时，a
取最小值31。


3
2．对于函数yfx，xD，若对任意的x1D，存在唯一的x2D，使得
fx1fx2M，则称函数fx在D上的几何平均数为M。已知fxx3x21，
x1，2，则函数fxx3x21在1，2上的几何平均数M
。
【答案】5
【解答】∵当1x2时，fx3x22xx3x20，
∴fxx3x21在区间1，2上为增函数，其值域为1，5。
∴根据函数fx几何平均数的定义知，M5。3．若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足112，则称a、b、c是调和的；
abc
若满足ac2b，则称a、b、c是等差的。已知集合Mxx2013，xZ，集
f合P是集合M的三元子集，即Pa，b，cM。若集合P中元素a、b、c既是调和
的，又是等差的，则称集合P为“好集”。则不同的“好集”的个数为
。
【答案】1006
【解答】若a
、b
、c
既是调和的，又是等差的，则

1a

1b

2c
，a
2b，c

4b。
ac2b
即“好集”为形如2b，b，4b（b0）的集合。
由“好集”是集合M的三元子集知，20134b2013，bZ，且b0。∴503b503，bZ，且b0。符合条件的b可取1006个值。∴“好集”的个数为1006。
4．已知实数x，y满足xy14xy，且x1，则x1y2的最小值
为
。
【答案】27
【解答】由xy14xy知，y4x1。x1
∴x1y2x14x123x12x1。
x1
x1
设x1t，则t0，
x1y23x12x13t22t16t11527。
x1
t
t
当且仅当t1，即t1，x2，y7时等号成立。t
∴x1y2的最小值为27。
5．如图，在四面体ABCD中，AB平面BCD，△BCD是边长
为3的等边三角形。若AB2，则四面体ABCD外接球的面积
为
。
【答案】16
【解答】如图，设正△BCD的中心为O1，四面体ABCD外接球的
球心为
O
。则
OO1

平面
BCD
，OO1∥AB
，
BO1

23

332
3。
取AB中点E。
由OAOB知，OEAB，OE∥O1Br