柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程
因为函数
f
z

z
ez12
z
在复平面内只有两个奇点
z1
0z2
1，分别以
z1z2
为圆心画互不相交互不包含的小圆c1c2且位于c内
ez
ez
C
z
ez12
z
dz

z12
C1
z
dz
C2
z
z12
dz
2iezz

2i

z
ez12
2i
z1
z0
无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
（3）．
z15dz
z31z222z43
解：设fz在有限复平面内所有奇点均在：z3内，由留数定理
共6页第3页
fz15
dz2iResfz
z31z222z43
（5分）
2iResf11zz2
f11
115z
1
zz2
1
1z2

2
2


1z

4

3
z2
（8分）
f11
1
有唯一的孤立奇点z0
zz2z1z222z413
limlimResf110
zf11
1
1
zz2
z0
zz2z01z222z413

z15
dz2i
z31z222z43
（10分）
（4）函数
fz
zz21z23si
z3
z32在扩充复平面上有什么类型的奇
点？，如果有极点，请指出它的级
解
：
f
z

zz2
1z23zsi
z3
32
的奇点为z

kk

0123，
（1）zkk0123为（si
z）30的三级零点，
（2）z0，z1为fz的二级极点，z2是fz的可去奇点，
（3）z3为fz的一级极点，
（4）z234，为fz的三级极点；
（5）为fz的非孤立奇点。
备注：给出全部奇点给5分，其他酌情给分。四、（本题14分）将函数fz1在以下区域内展开成罗朗级数；
z2z1
（1）0z11，（2）0z1，（3）1z
解：（1）当0z11
共6页第4页
ff
z

1z2z1


1z1z
111
而
1

1
z1

z11
0

1
z1
1
0

fz1
1
z1
2
0
6分
（2）当0z1
f
z

1z2z1


1z21
z

1z2

0
z

z
2
0
10分
（3）当1z
f
z

1z2z1

1z31
1
z
fz

1z3
1
0z


0
1z
3
每步可以酌情给分。
14分
五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题：
yx5yx4yxex
y0

1

y0
1
解：对yx的Laplace变换记做Ls，依据Laplace变换性质有
s2Lss15sLs14Ls1s1
整理得
…（5分）
共6页第5页
fLs
1
1
s1s1s4s1
111110s16s115s4s1
15110s16s115s4
…（7分）
yx1ex5ex1e4x10615
…（10分）
六、（6分）求ftet0的傅立叶变换，并由此证明：
cost
022
d

2
e
t
解：Feitetdt03分
F0eitetdteitetdt

0
0
0eitdteitdt

0
0

eir