全球旧事资料 分类

G单元立体几何

G1空间几何体的结构20.、、2014安徽卷如图15,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且AD=2BC过A1,C,D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q
图151证明:Q为BB1的中点;2求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比;3若AA1=4,CD=2,梯形ABCD的面积为6,求平面α与底面ABCD所成二面角的大小.20.解:1证明:因为BQ∥AA1,BC∥AD,BC∩BQ=B,AD∩AA1=A,所以平面QBC∥平面A1AD,从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行,即QC∥A1D故△QBC与△A1AD的对应边相互平行,于是△QBC∽△A1AD,BQBQBC1所以===,即Q为BB1的中点.BB1AA1AD22如图1所示,连接QA,QD设AA1=h,梯形ABCD的高为d,四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下,BC=a,则AD=2a
图1111V三棱锥QA1AD=×2ahd=ahd,323
f111a+2aV四棱锥QdABCD=2h=4ahd,327所以V下=V三棱锥QA1AD+V四棱锥QahdABCD=123又V四棱柱A1B1C1D1ABCD=ahd,2V上113711所以V上=V四棱柱A1B1C1D1ABCD-V下=ahd-ahd=ahd,故=21212V下73方法一:如图1所示,在△ADC中,作AE⊥DC,垂足为E,连接A1E又DE⊥AA1,且AA1∩AE=A,所以DE⊥平面AEA1,所以DE⊥A1E所以∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角.因为BC∥AD,AD=2BC,所以S△ADC=2S△BCA又因为梯形ABCD的面积为6,DC=2,所以S△ADC=4,AE=4πAA1于是ta
∠AEA1==1,∠AEA1=AE4π故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为4→方法二:如图2所示,以D为原点,DA,DD1分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系.设∠CDA=θ,BC=a,则AD=2a因为S四边形ABCD=2所以a=si
θa+2a2si
θ=6,2
图24从而可得C2cosθ,2si
θ,0,A1si
θ,0,4,


4→所以DC=2cosθ,2si
θ,0,DA1=si
θ,0,4


设平面A1DC的法向量
=x,y,1,
f→
=x+4=0,DAsi
θ由→DC
=2xcosθ+2ysi
θ=0,
1
4
x=-si
θ,得y=cosθ,
所以
=-si
θ,cosθ,1.又因为平面ABCD的法向量m=0,0,1,2
m所以cos〈
,m〉==,
m2π故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为48.2014湖北卷《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给r
好听全球资料 返回顶部