数
G单元立体几何
学
G1空间几何体的结构20．、、2014安徽卷如图15，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q
图151证明：Q为BB1的中点；2求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；3若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．20．解：1证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD，BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，所以平面QBC∥平面A1AD，从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC∥A1D故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，于是△QBC∽△A1AD，BQBQBC1所以＝＝＝，即Q为BB1的中点．BB1AA1AD22如图1所示，连接QA，QD设AA1＝h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC＝a，则AD＝2a
图1111V三棱锥QA1AD＝×2ahd＝ahd，323
f111a＋2aV四棱锥QdABCD＝2h＝4ahd，327所以V下＝V三棱锥QA1AD＋V四棱锥QahdABCD＝123又V四棱柱A1B1C1D1ABCD＝ahd，2V上113711所以V上＝V四棱柱A1B1C1D1ABCD－V下＝ahd－ahd＝ahd，故＝21212V下73方法一：如图1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E又DE⊥AA1，且AA1∩AE＝A，所以DE⊥平面AEA1，所以DE⊥A1E所以∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角．因为BC∥AD，AD＝2BC，所以S△ADC＝2S△BCA又因为梯形ABCD的面积为6，DC＝2，所以S△ADC＝4，AE＝4πAA1于是ta
∠AEA1＝＝1，∠AEA1＝AE4π故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为4→方法二：如图2所示，以D为原点，DA，DD1分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．设∠CDA＝θ，BC＝a，则AD＝2a因为S四边形ABCD＝2所以a＝si
θa＋2a2si
θ＝6，2
图24从而可得C2cosθ，2si
θ，0，A1si
θ，0，4，


4→所以DC＝2cosθ，2si
θ，0，DA1＝si
θ，0，4


设平面A1DC的法向量
＝x，y，1，
f→
＝x＋4＝0，DAsi
θ由→DC
＝2xcosθ＋2ysi
θ＝0，
1
4
x＝－si
θ，得y＝cosθ，
所以
＝－si
θ，cosθ，1．又因为平面ABCD的法向量m＝0，0，1，2
m所以cos〈
，m〉＝＝，
m2π故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为48．2014湖北卷《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给r