知数个数相同方程组Axb为
元方程10线性方程组Axb的求解①对增广矩阵B进行初等行变换只能使用初等行变换②齐次解为对应齐次方程组的解③特解自由变量赋初值后求得11由
个未知数m个方程的方程组构成
元线性方程
a11x1a12x2a1
x
b1axaxaxb2
2①211222am1x1am2x2a
mx
b
a11a②21am1a12a22am2a1
x1b1a2
x2b2Axb向量方程A为m×
矩阵m个方程
个未知数am
xmbm
③a1a2
x1b1xba
2β全部按列分块其中β2b
x

④a1x1a2x2a
x
β线性表出⑤有解的充要条件rArAβ≤
为未知数的个数或维数
4向量组的线性相关性
1
m个
维列向量所组成的向量组Aα1α2αm构成
×m矩阵Aα1α2αm
β1TTβTTm个
维行向量所组成的向量组Bβ1Tβ2βm构成m×
矩阵B2Tβm
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应2①向量组的线性相关无关Ax0有无非零解齐次线性方程组②向量的线性表出Axb是否有解线性方程组③向量组的相互线性表示AXB是否有解矩阵方程矩阵Am×
与Bl×
行向量组等价的充分必要条件是齐次方程组Ax0和Bx0同解P101例14
rATArAP例15101
维向量线性相关的几何意义α0①α线性相关
345
②αβ线性相关
αβ坐标成比例或共线平行
4
f③αβγ线性相关6
αβγ共面
线性相关与无关的两套定理若α1α2αs线性相关则α1α2αsαs1必线性相关若α1α2αs线性无关则α1α2αs1必线性无关向量的个数加加减减二者为对偶若r维向量组A的每个向量上添上
r个分量构成
维向量组B若A线性无关则B也线性无关反之若B线性相关则A也线性相关向量组的维数加加减减简言之无关组延长后仍无关反之不确定
7
向量组A个数为r能由向量组B个数为s线性表示且A线性无关则r≤s二版P74定理7向量组A能由向量组B线性表示则rA≤rBP86定理3向量组A能由向量组B线性表示AXB有解rArABP85定理2向量组A能由向量组B等价rArBrABP85定理2推论
8
方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1P2Pl使AP1P2Pl①矩阵行等价ABPAB左乘P可逆Ax0与Bx0同解
rc
②矩阵列等价ABAQB右乘Q可逆③矩阵等价ABPAQBPQ可r