1行列式
1
行列式共有
2个元素展开后有
项可分解为2
行列式2代数余子式的性质①Aij和aij的大小无关②某行列的元素乘以其它行列元素的代数余子式为0③某行列的元素乘以该行列元素的代数余子式为A3代数余子式和余子式的关系Mij1ijAij4设
行列式D将D上下翻转或左右翻转所得行列式为D1则D11

12
Aij1ijMij
D
D将D顺时针或逆时针旋转90所得行列式为D2则D21将D主对角线翻转后转置所得行列式为D3则D3D将D主副角线翻转后所得行列式为D4则D4D5行列式的重要公式①主对角行列式主对角元素的乘积

12
②副对角行列式副对角元素的乘积×12③上下三角行列式主对角元素的乘积④和副对角元素的乘积×1⑤拉普拉斯展开式
AOCBACOB

12

1

CABOOABC1mi
AB
AB

⑥范德蒙行列式大指标减小指标的连乘积⑦特征值6对于
阶行列式A恒有λEAλ
∑1kSkλ
k其中Sk为k阶主子式
k1

7证明A0的方法①AA②反证法③构造齐次方程组Ax0证明其有非零解④利用秩证明rA
⑤证明0是其特征值
2矩阵
8A是
阶可逆矩阵9A≠0是非奇异矩阵10111213141516171819
rA
是满秩矩阵A的行列向量组线性无关齐次方程组Ax0有非零解b∈R
Axb总有唯一解A与E等价A可表示成若干个初等矩阵的乘积A的特征值全不为0ATA是正定矩阵A的行列向量组是R
的一组基A是R
中某两组基的过渡矩阵
1
f20对于
阶矩阵A
11
AAAAAE
1TT1
无条件恒成立
TT
AAAA21AATTTABBAAB1B1A122ABBA23矩阵是表格推导符号为波浪号或箭头行列式是数值可求代数和24关于分块矩阵的重要结论其中均AB可逆
25
A1A若
A2
As则
26ⅠAA1A2As
A11A1Ⅱ
1
A
12
2728293031
As1
OB1
1
A1AOOBO②OOA1BOA③A1ACOBO④
111
主对角分块
BO副对角分块A1CB1B1
1
拉普拉斯拉普拉斯
AAO11CBBCA⑤
OB1
3矩阵的初等变换与线性方程组
32A等价的矩阵组成的一个集合称为一个等价类标准形为其形状最简单的33等价类所有与矩阵34对于同型矩阵AB若rArBAB35行最简形矩阵36①只能通过初等行变换获得37②每行首个非0元素必须为138r