逆9对于矩阵Am×
与Bl×
①若A与B行等价则A与B的行秩相等②若A与B行等价则Ax0与Bx0同解且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性③矩阵的初等变换不改变矩阵的秩④矩阵A的行秩等于列秩10若Am×sBs×
Cm×
则①C的列向量组能由A的列向量组线性表示B为系数矩阵②C的行向量组能由B的行向量组线性表示AT为系数矩阵转置11齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解考试中可以直接作为定理使用而无需证明①ABx0只有零解Bx0只有零解②Bx0有非零解ABx0一定存在非零解12设向量组B
×rb1b2br可由向量组A
×sa1a2as线性表示为P110题19结论
b1b2bra1a2asKBAK
其中K为s×r且A线性无关则B组线性无关rKrB与K的列向量组具有相同线性相关性必要性∵rrBrAK≤rKrK≤r∴rKr充分性反证法注当rs时K为方阵可当作定理使用13①对矩阵Am×
存在Q
×mAQEmrAmQ的列向量线性无关P87②对矩阵Am×
存在P
×mPAE
rA
P的行向量线性无关14α1α2αs线性相关存在一组不全为0的数k1k2ks使得k1α1k2α2ksαs0成立定义
x1xα1α2αs20有非零解即Ax0有非零解xsrα1α2αss系数矩阵的秩小于未知数的个数
15设m×
的矩阵A的秩为r则
元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为rS
r16若η为Axb的一个解ξ1ξ2ξ
r为Ax0的一个基础解系则ηξ1ξ2ξ
r线性无关P111题33结论
5
f5相似矩阵和二次型
1正交矩阵ATAE或A1AT定义性质①A的列向量都是单位向量且两两正交即aiTaj
10iji≠jij12

②若A为正交矩阵则A1AT也为正交阵且A±1③若AB正交阵则AB也是正交阵注意求解正交阵千万不要忘记施密特正交化和单位化施密特正交化a1a2arb1a1
b2a2b1a2ib1b1b1b1arbabaib12rib2r1ribr1b1b1b2b2br1br1
2

brar
34
对于普通方阵不同特征值对应的特征向量线性无关对于实对称阵不同特征值对应的特征向量正交①A与B等价A经过初等变换得到BPAQBPQ可逆rArBAB同型②A与B合同
CTACB其中可逆xTAx与xTBx有相同的正负惯性指数P1APB
567
③A与B相似相似一定合同合同未必相似若C为正交矩阵r