首个非0元素必须为1③每行首个非0元素所在列的其他元素必须为03初等行变换的应用初等列变换类似或转置后采用初等行变换①若AE
EX则A可逆且XA
r
1

c
②对矩阵AB做初等行变化当A变为E时B就变成A1B即ABEA1B③求解线形方程组对于
个未知数
个方程Axb如果AbEx则A可逆且xA1b4初等矩阵和对角矩阵的概念①初等矩阵是行变换还是列变换由其位置决定左乘为初等行矩阵右乘为初等列矩阵
r
2
fλ1②∧
λ2
左乘矩阵Aλ乘A的各行元素右乘λ乘A的各列元素iiλ
1
11③对调两行或两列符号Eij且Eij1Eij例如1111
11111④倍乘某行或某列符号Eik且Eik1Ei例如kkk11
k≠01
kk111⑤倍加某行或某列符号Eijk且EijkEijk如11k≠011
5
矩阵秩的基本性质①0≤rAm×
≤mi
m
②rATrA③若AB则rArB④若PQ可逆则rArPArAQrPAQ可逆矩阵不影响矩阵的秩⑤maxrArB≤rAB≤rArB※⑥rAB≤rArB※⑦rAB≤mi
rArB※⑧如果A是m×
矩阵B是
×s矩阵且AB0则※ⅠB的列向量全部是齐次方程组AX0解转置运算后的结论ⅡrArB≤
⑨若AB均为
阶方阵则rAB≥rArB
三种特殊矩阵的方幂①秩为1的矩阵一定可以分解为列矩阵向量×行矩阵向量的形式再采用结合律②型如01b的矩阵利用二项展开式
001
01m
m二项展开式ab
C
a
C
a
1b1C
a
mbmC
1a1b
1C
b
∑C
amb
mm0

6
1ac
注Ⅰab展开后有
1项

ⅡC
m

1
m1
1i2i3iimm
m
0
C
C
1
Ⅲ组合的性质C
mC
m③利用特征值和相似对角化7伴随矩阵
①伴随矩阵的秩rA10

mC
m1C
C
m1
∑C
r0


r

2

r1rC
C
r1
rA
rA
1rA
1
3
f②伴随矩阵的特征值③AAA1AA8
A
λ
1
AXλXAAA1AX
A
λ
X
关于A矩阵秩的描述①rA
A中有
阶子式不为0
1阶子式全部为0两句话②rA
A中有
阶子式全部为0③rA≥
A中有
阶子式不为0
9线性方程组Axb其中A为m×
矩阵则①m与方程的个数相同即方程组Axb有m个方程②
与方程组得未r