平面几何中线段相等的证明几种方法
平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。
一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。求证：AEBD。
证明∵△ACB和△BCE都是等边三角形∴∠ACD60°，∠BCE60°，∠DCE60°∴∠ACE∠ACD＋∠DCE120°∠BCD∠BCE＋∠DCE120°∴ACCD，CECB∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AEDB［例2］如图，已知△ABC中，ABAC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BECF，EF与BC交于D，求证：EDDF。
证明：过点E作EGAF交BC于点G∴∠EGB∠ACB，∠EGD∠FCD∵ABAC∴∠B∠ACB，∠B∠FGB，BEGE∵BECF，∴GECF在△EGD和△FCD中，∠EGD∠FCD，∠EDG∠FDC，GECF∴△EGD≌△FCD（AAS）∴EDFD
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f二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BEAC，延长BE交AC于F。求证：AFEF。
证明：延长AD到G，使DGAD，连结BG。∵ADGD，∠ADC∠GDB，CDBD∴△ADC≌△GDB∴ACGB，∠FAE∠BGE∵BEAC∴BEBG，∠BGE∠BEG∴∠FAE∠BGE∠BEG∠AEF∴AEEF［例2］如图，已知△ABC中，ABAC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：ADAE。
证明：∵DF⊥BC∴∠DFB∠EFC90°，∠D90°－∠B，∠CEF90°－∠C∵ABAC，∴∠B∠C∴∠D∠CEF∵∠CEF∠AED∴∠D∠AED∴ADAE
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f三、利用平行四边形的性质证明线段相等如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。［例1］如图，△ABC中，∠C90°，∠A30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F，求证：EFFD。
证明：过D作DO⊥AC交AB于点O∵OD垂直平分AC，∠ACB90°∴BC⊥AC∴O点必为AB的中点，连结EO，则EO⊥AB∵∠CAB30°，∠BAE∠CAD60°∴AD⊥AB，AE⊥AC∴OEAD，AEOD∴四边形ODAE为平行四边形∴EFFD［例2］如图，AD是△ABC的中线，过DC上任意一点F作EGAB，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FHAC，交AB于点H。求证：HGBE。
证明：延长AD到A，使DAAD又∵BDCD∴四边形BACA是平行四边形
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f∴BAAC由题设可知HFGA也是平行四边形∴HFAG∵HFAC，∴BHHF
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