清华大学经济管理学院计量经济学期末试题及答案
（2004年）
（2小时，闭卷，满分100分）
⒈（共30分，每小题5分）多元线性单方程计量经济学模型
yi01x1i2x2ikxkiiiN02i12…
⑴分别写出该问题的总体回归函数、总体回归模型、样本回归函数和样本回归模型；⑵请分别写出随机误差项具有同方差且无序列相关、具有异方差但无序列相关、具有异方差且具有一阶序列相关时的方差协方差矩阵；⑶当模型满足基本假设时，写出普通最小二乘法参数估计量的矩阵表达式，并写出每个矩阵的具体内容；
⑷当k4
30时用OLS估计模型得到残差平方和为100，试计算最大对数似然函数
值；（l
20693l
1145）
⑸当模型具有异方差性时，写出加权最小二乘法参数估计量的矩阵表达式，并指出在实际估计时权矩阵是如何选择的；
⑹证明：如果x2是随机变量且与相关，则采用OLS估计得到的参数估计量是有偏的。
答：
⑴总体回归函数为EyiXi01x1i2x2ikxki
总体回归模型为yi01x1i2x2ikxkii
样本回归函数为yi01x1i2x2ikxki
样本回归模型为yi01x1i2x2ikxkii
1

⑵随机误差项具有同方差且无序列相关时的方差协方差矩阵为

1
2

1
w1

随机误差项具有异方差且无序列相关时的方差协方差矩阵为

w2
2

w


随机误差项具有异方差且具有一阶序列相关时的方差协方差矩阵为
1
fw1w12
w21w2



w
1
⑶矩阵表达式为YX，其中
y1
Y


y
2



y



1
1x11
X

1
x12
1x1



2
w
1
w


x21x22
x2

xk1
x
k
2


xk


k
1
0

1

2



kk11
1


2




1
⑷因为21004，所以3041
LL
L

L

2
1
2
2
Y

X
YX
30L
221100608624
⑸加权最小二乘法参数估计量的矩阵表达式为：
BXW1X1XW1Y
如何得到权矩阵W？仍然是对原模型首先采用普通最小二乘法，得到随机误差项的近
似估计量，以此构成权矩阵的估计量，即
e12
W


e22



e
2

⑹在关于待估参数的正规方程组
00011XX11i1iX1i22iXX222ii
X2ikkXkikXki
XkiX1iX2i
YiYiX1iYiX2i


01X1i2X2ikXkiXkiYiXki
2
f中，如果x2是随机变量且与相关，那么第3个方程应该是
01X1i2X2ikXkiX2iiX2iYiX2i
将该非齐次方程组假定为齐次方程组求解，得到的解肯定是有偏的。⒉（16分，每小题4分）选择两要素一级CES生产函数的近似形式建立中国r