1－ak1－bk1ababk－akbkababak1bk1－－ababk－ak－bkabak1bk1422k－2k142k22k1－42k142k22k1－2k11．即命题对于
k1也成立．故对于一切
∈N，命题成立．二试题
47
23
A
M
OEN
C
B
3DOAB6，OM．2DA4
f1988年全国高中数学联赛
冯惠愚5a
1－3a
a
a
1为偶数，a
2a
1为奇数．a
1－a
a

一．已知数列a
，其中a11，a22，
试证：对一切
∈N，a
≠0．（1988年全国高中竞赛试题）分析：改证a
0mod4或a
0mod3．证明：由a11，a22，得a37，a429，……∴a1≡1，a2≡2，a3≡3mod4．设a3k－2≡1，a3k－1≡2，a3k≡3mod4．则a3k1≡5×3－3×29≡1mod4；a3k2≡1－3－2≡2mod4；a3k3≡5×2－3×17≡3mod4．根据归纳原理知，对于一切
∈N，a3
－2≡1，a3
－1≡2，a3
≡3mod4恒成立，故a
0mod4成立，从而a
≠0．又证：a1≡1，a2≡2mod3．设a2k－1≡1，a2k≡2mod3成立，则当a2k－1a2k为偶数时a2k1≡5×2－3×1≡1mod3，当a2k－1a2k为奇数时a2k1≡2－1≡1mod3，总之a2k1≡1mod3．当a2ka2k1为偶数时a2k2≡5×1－3×2≡2mod3，当a2ka2k1为奇数时a2k2≡1－2≡2mod3，总之，a2k2≡2mod3．于是a
0mod3．故a
≠0．SPQR2二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：．SABC9
A
P
HNQBRC
1证明：作△ABC及△PQR的高CN、RH．设△ABC的周长为1．则PQ．3则SPQRPQRHPQAR1PQ2，但AB，于是，CNABAC2AB3SABCAB
111111AR1SPQR2APAB－PQ－，∴AR－AP，AC，故，从而．236362AC3SABC9
三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，……，l
，…的直线族，它满足条件：⑴点1，1∈l
，
1，2，3，……；⑵k
1a
－b
，其中k
1是l
1的斜率，a
和b
分别是l
在x轴和y轴上的截距，
1，2，3，……；⑶k
k
10，
1，2，3，……．并证明你的结论．证明：设a
b
≠0，即k
－1－1，或a
b
0，即k
1，就有k
10，此时a
1不存在，故k
≠±1．11现设k
≠0，1，则yk
x－11，得b
1－k
，a
1－，∴k
1k
－．此时k
k
1k
2－1．k
k
∴k
1或k
－1．从而k11或k1－1．11⑴当k11时，由于01，故k1k2k1－0，若k21，则又有k1k2k30，依此类推，知当km1k1k1
111时，有k1k2k3…kmkm10，且0…1，k1k2km11112mkm1km－km－km－1－－k－－…k1－．kmk1k1km－1k1m1k1mm0由于k1－随m的增大而线性减小，故必存在一个m值，mm0，使k1－1，从而必存在一个m值r