联想构造出以∠D为底角的等腰三角形，且这个等腰三角形与顶角相邻的外角等于∠CAD，则问题就解决了已知ED2AC，而AC与ED没有直接联系，可在Rt△DCE中构造斜边DE上中的线
证明：取DE中点F连结CF在Rt△DCE中DE2CF2DF又已知DE2AC所以ACCFCFDF因为∠1∠D∠2∠CAD所以∠2∠1∠D2∠D所以∠CAD2∠D因为∠B∠BCD90°所以AB∥CD所以∠DAB∠D
f所以∠CAD2∠DAB题后反思：本题还是体现了将分散条件集中：在直角三角形中通过斜边中线构造出线段关系
例4已知：如图所示，在ABC中，ABAC，∠A120°，AB边的垂直平分线交BC于D
求证：DC2BD
AE1
B
D
C
分析：由于DC，BD在同一直线上，欲证DC2BD，表面看似不易，但题中给出AB的中垂线，则可以利用中垂线的性质，去转移等量线段故连结AD，这样BDAD，证明DC2AD即可，而DC，AD在同一三角形中，且已知∠A120°可求∠B∠C30°将这些问题转化成含30°角的直角三角形性质
证明：连结AD因为D在AB垂直平分线上所以BDAD所以∠B∠1因为∠BAC120°ABAC所以∠B∠C30°所以∠DAC90°在Rt△DAC中∠C30°则DC2AD所以DC2BD题后反思：证明一条线段等于另一条线段的2倍，除了已经学的折平法和加倍法外，还可用含30°角的直角三角形的性质三角形中位线，直角三角形斜边中线等方法，见到线段的垂直平分线，就想到利用它转移等量线段
例5已知：如图所示，ABCD为菱形，通过它的对角线的交点O作AB，BC的垂线，与AB，BC，CD，AD分别相交于点E，F，G，H求证：四边形EFGH为矩形
fA
E
H
O
B
D
F
G
C
分析：证明四边形EFGH为矩形有几个方法而已知EFGH的对角线都通过AC，BD的交点O，并且各垂直于菱形的两组对边，所以考虑通过EFGH的对角线的关系证明EFGH为矩形由于OE⊥AB，OH⊥AD，所以立即看出OEOH这样EFGH明显是矩形了
证明：如图所示，由于OA平分∠BAD，并且OE⊥AB，OH⊥AD，由角平分线的性质知道OEOH同理，OEOF，OFOG，OGOH
所以EFGH的对角线EG，FH互相平分并且相等，所以EFGH为矩形
例6已知：如图所示，ABCD为矩形，CE⊥BD于点E，∠BAD的平分线与直线CE相交于点F，求证：CACF
分析一：如图所示，由于CA，CF是△CAF的两边，因此要证明CACF，可试证∠CFA∠CAF，由于CF⊥BD因此作AG⊥BD于点G，则AG∥CF，从而∠CFA∠FAG于是问题转化为证明∠FAG∠CAF但已知AF是∠BAD的平分线，因此问题又转化为证明∠BAG∠CAD但证明这两个角相等不会有什么困难了
证法一：如图所示，作AG⊥BD于点G，∠BAG与∠ABD互余，∠CADr