关于一道关于一道高考题的深入思考
王久成朱立明（吉林省长春市东北师大附中130024吉林省长春市东北师范大学130024）2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）中有这样一道问题：11函数y2x的图像大致是（）
x2x2本题比较容易解决，可以通过分析函数y2与函数yx的交点个数，再考察函数
12
y2xx2的单调性即可解决。
由此题展开联想，对于任意的指数函数yax与幂函数yxa交点的个数有多少应如何判断，本文主要探究这个问题。1、对于x∈0∞令fxloga
xaax其中a0且a≠1，所以有fxlogaxlogaaxalogaxax
fx
x
aa1，令fx0解之得xxl
al
a
因为e1x，所以有xl
1xl
x，即al
a（1）若0a1时，
a0l
a
则函数fxxalogax在0∞上单调递减，并且fa0，此时函数yax与函数yxa在0∞上有一个交点。（2）若a1时，当x∈0
a1l
a
aa时，fx0；当x∈∞时，fx0l
al
aaaa因此函数fxxalogax在x处取得最大值，falogal
al
ael
ax考察gxx1，el
xgxel
xe，令gx0解之得xeel
x2
当x∈1e时，gx0；当x∈e∞时，gx0因此函数gx
x在xe处取得最小值，ge1el
x
f（1）若ae时，fe0，此时函数ya与函数yx在0∞上有一个交点
xa
（2）若a∈1e∪e∞时，恒有ga1成立，即我们得到f
a1，el
a
aaaloga0l
ael
aa1对于x∈0时，我们取xa2，则fa22a20l
aaax∈∞时，我们取xa
，当
取充分大时，必有fa
aa
0l
a
xa
此时函数ya与函数yx在0∞上必有两个交点。2、对于x∈∞0时，因为对于a为无理数时，x是没有意义的。所以我们只讨论a为有
a
理数的情况，故a
m
其中m
∈Z，为表达方便我们令fxxaxmgxax


（1）m为奇数，当此时若
为偶数，则函数fx则函数fx

xm在∞0上无意义；若
为奇数，
xm在∞∞上为奇函数，因此，对于x∈0，∞）有xa0ax0，，
二者不能相交。所以当m为奇数时，函数yax与函数yxa在∞0上没有交点。（2）当m为偶数，则只需考虑
为奇数，此时fx在∞0上单调递减。当

xm在∞∞上为偶函数，并且
m1即a1时，gxax在r