∞0上单调递增，此时函数yax与函数yxa在

∞0上有一个交点。
当
m1即0a1时，gxax在∞0上单调递减，
xaaxlogaxax0，则px1，xaxl
aal
a
考察函数pxloga
令px0解之得，x当x∈
aa0时，px0；当x∈∞时，px0l
al
aaaaa即函数pxxlogax在x处取得最小值，palogal
al
ael
aaaaa（i）若∈01，即e，则paloga0，此时函数yax与函el
al
al
ael
a
a数yx在∞0上无交点。
f（ii）若
aaaa1，即e，则paloga0，此时函数yax与函数el
al
al
ael
a
yxa在∞0上有一个交点。
（iii）若
aaa∈1∞，即e，此时有p0el
al
al
aa当x∈0时，函数pxxlogaxa单调递增，l
a
因为p
aa0，并且limpx→∞，由于函数的连续性，所以在0上有且只l
al
ax→0
有一点xx1使得px10当x∈∞
a，函数pxxlogaxa单调递减，而由洛必达法则可知，l
alimpx→∞。
x→∞
所以在x∈∞因此，当
ae时，函数yax与函数yxa在∞0上有两个交点。l
a
a上有且只有一点xx2，使得px20l
a
至此，函数yax与函数yxa交点个数问题以讨论完毕。综上所述，函数yax与函数yxa交点个数问题可以总结如下表：
0a1
a1
x∈0∞
一个交点
ae
一个交点
a≠e
两个交点
a为无理数时，幂指数无意义；a
0a1
m时
a1
m为
x∈∞0
m为
m为
m为
m为
奇数，
为奇数
m为偶数，
为奇数
奇数，奇数，偶数，奇数，
为
为
为奇
为偶偶数奇数数数幂指数无意义幂指数无意义
ael
a
无交点
ael
a
一个交点
ael
a
两个交点
无交点
一个交点
无交点
下面我们举两个例子说明。
f例1考察y与函数yx3的交点个数。
x
23
2
因为0
2221，所以在0∞上函数yx与函数yx3有一个交点；33
2232×18e，所以在∞0上函数y2x与函数yx3没有交点。23333l
l
32
综上所述，y与函数yx3只有一个交点。如图1，
x
23
2
图1例2考察函数y与函数yx5的交点个数。
x
45
4
因为0
4441，所以在0∞上函数yx与函数yx5有一个交点；55
4454×14e，所以在∞0上函数y4x与函数yx5有两个交点，4555r