量子力学习题及解答
第一章量子理论基础
1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m与温度T成反
比，即
mTb（常量）；
并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式
vdv

8hv3c3

1
hv
dv，
ekT1
（1）
以及
vc，
（2）
vdvvd，
（3）
有


dvd
dc
v
d
vc
8hc1
5
hc
ekT1
这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λdλ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求对λ的一阶导数为零，
由此可求得相应的λ的值，记作m。但要注意的是，还需要验证对λ的二阶导数在m
处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就是要求的，具体如下：



8hc6

e
1
hckT

1


5

hckT

1
hc
1ekT


0
hc1

5kT
hc0
1ekT

hc
51ekT
hc
kT
如果令xhc，则上述方程为kT
51exx
这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x497，经过验证，此解正是所要求的，这样则有
1
fmT

hcxk
把x以及三个物理常量代入到上式便知
mT29103mK
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波
长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知
Ehv，
Ph
如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（E动ec2），那么
如果我们考察的是相对性的光子，那么
p2E
2e
Epc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，
即051106eV，因此利用非相对论性的电子的能量动量关系式，这样，便有
hp
h2eE
hc2ec2E
124106m20511063
071109m
在这里，利用了
071
m
hc124106eVm
以及
最后，对
ec2051106eV
hc2ec2E
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒
子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，
因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动
性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才
能显现。
1．3氦原子的动能是E3kT（k为玻耳兹曼常数），求T1K时，氦原子的德布罗意波2
2
f长。
解根r