量子力学习题答案
12在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。
解：由德布罗意波粒二象性的关系知：
Eh；ph
由于所考虑的电子是非相对论的电子（Ek3eVec2051106），故：EP22e
hph2eEhc2ec2E
12410620511063071109m071
m
13氦原子的动能是E15kT，求T1K时，氦原子的德布罗意波长。
解：对于氦原子而言，当T1K时，其能量为
E3kT313811023JK11K2071023J
2
2
于是有
hph2HeE

66261034Js
266901027kg2071023J
126
m
一维谐振子处于xAe2x22状态中，其中为实常数，求：1归一化系数；2动能平均值。（e2x2dx）
解：1由归一化条件可知：
1
fxxdxA2e2x2dx1


A21
取相因子为零，则归一化系数A1214
2
TxTxdxA2eP2x2222e2x22dx



A2
2

e2x2
2
2
d2e2x22dxdx

2
2
A2
e2x22

ddx
2xe2x2

2
dx
2
2
A22xe2x2


2xe2x2

2
2dx


2
2A24
x2e2x2dx


2
2
A24
122

xde2x2

2
2
A24
12
2

xe

2x2


e2x2dx

＝
2
2
A24
1（22

）＝
A22＝22
4
4
若＝，则该态为谐振子的基态，
T
4
解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用FH定理是
非常方便的。
一维谐振子的哈密顿量为：
H

2
2
d2dx

12
2x2
它的基态能量E0

12
选择
为参量，则
2
fdE0d

12

；
dHd
d2dx

2
2
2
d2dx

2T
0
dHd
0
2
T
由
FH
定理知：
dE0d

0dH0d
2
T
12
可得：
T
14

22由下列定态波函数计算几率流密度：
11

1eikrr
22

1eikrr
从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内即向原点传播的
球面波。
解：J1和J2只有r分量
在球坐标中


r0
r

e
1r


e
1rsi


1
J1

i2m

1
1
11

i12mr
eikr
r
1r
eikr
1r
eikr
r
1r
e
ikr
r0

i12mr
1r2
ik
1r
1r
1r2
ik
1rr0

kmr2
r0

kmr3
r
J1与
r
同向。表示向外传播的球面波。
3
f2
J2

i2m

2
2
2

i1eikr2mr
1eikr1eikr
rr
r
r
1r
eikr
r0

i12mr
1r2
ik
1r

1r
1r2
ik
1rr0


kmr2
r0


kmr3
r
可见，J2与r反向。表示向内即向原点传播的球面波。
23一粒子在一维势场
，x0Ux0，0xa
，xa
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：Ux与t无关，是定态问题。其定态S方程

22m
d2dx2

x
Ux
x

E
x
在各区域的具体形式为
Ⅰ：x0

22m
d2dx2
1x

U
x1
x

E1x
①
Ⅱ：0xa

22m
d2dx2

r