矛盾
综上所述，M10
另一方面，如下表的例子说明M可以取到10故M的最大值为10
1
1
1
4
5
1
1
2
4
5
2
2
2
4
5
3
3
2
4
5
3
3
3
4
5
第二试
3月20日上午9501120
1014
f2016年全国初中数学联合竞赛试题和答案详解
一、（本题满分20分）
已知ab为正整数，求M3a2ab22b4能取到的最小正整数值
【解析】解：因ab为正整数，要使得M3a2ab22b4的值为正整数，则有
a2当a2时，b只能为1，此时M4故M能取到的最小正整数值不超过4当a3时，b只能为1或2若b1M18若b2，则M7
当a4时，b只能为1或2或3若b1M38若b2M24若b3则M2
下面考虑：M3a2ab22b4的值能否为1？
（反证法）假设M1，则3a2ab22b41，即3a2ab22b5，
a3ab22b5
①
因b为正整数，故2b5为奇数，从而a为奇数，b为偶数，
不妨设a2m1b2
，其中m
均为正整数，则
a3ab22m132m12
243m23m2m
2
23
即a3ab2被4除所得余数为3，而2b522
14
1被4除所得余数为1，
故①式不可能成立，故M1因此，M能取到的最小正整数值为2
二、（本题满分25分）
A如图，点C在以AB为直径的O上，CDAB于点D点E在BD上，AEAC四边形DEFM是正方形，AM的延长线与O交于点N证明FNDE
第2A题答案图
【证明】：连接BC、BNAB为O的直径，CDAB于点DACBANBADC90
CABDACACBADCACB∽ADC
1114
f2016年全国初中数学联合竞赛试题和答案详解
ACABAC2ADABADAC
由四边形DEFM是正方形及CDAB于点D可知点M在CD上，DEDMEFMFNABDAMANBADMANB∽ADM
ANABADABAMANAC2AMANADAMAEACAE2AMAN
以点F为圆心、FE为半径作F与直线AM交于另一点P则F与AB切于点E
即AE是F的切线，直线AMP是F的割线，故由切割线定理得AE2AMAPANAP即点N与点P重合，点N在F上，FNFEDE
注：上述最后一段得证明用了“同一法”
B已知：abc5a2b2c215a3b3c347
求a2abb2b2bcc2c2caa2的值
【解析】由已知得
ab

bc

ca

12
a

b

c2

a2

b2

c2


5
由恒等式a3b3c33abcar