解：limx2
x23x2x2x6
x1x2
lim
x2x2x3
limx2
x1x3

2123

15
1
6设yx2ex，求y
解：y
x2

1
ex

x2
1ex


1
2xex

1
x2ex

1x

1
2xex
1
x2ex
1x2
1
2xex
1
ex
1
2x1ex
7计算不定积分2x110dx
解：


2x
110dx

12


2x
110d

2x
1

122

2x
111

C
8计算定积分1xexdx0
解：
1xexdx
0
1xdex
0

xex
10

1exdx
0
eex
10ee1
1
9计算极限limx23x2x2x24
解：limx2
x23x2x24
x1x2

lim
x2

x

2

x

2
limx2
x1x2

2122

14
10设ysi
5xcos3x，求y
解：ysi
5xcos3x5cos5x3cos2xcosx
5cos5x3cos2xsi
x
2
1x
11计算不定积分
dxx
2
解：
1x
dx21
2
xd1
x21
3
xC
x
3
6
f2
1x
或者x
dx212
xx

xdx

2

12x
xdx
2

12x
xdx4
x

4x

4
3
x2

C
3
12计算定积分xsi
xdx02
解：
xsi
xdx1
02
2
xdcosx1
0
2
xcosx0


cosxdx
0
12
si
x0
2
13求极限limx29x3x22x3
解：原式
lim
x3
xx
3x1x
33

lim
x3
xx
31

32
14已知函数yl
xsi
1，求dyx
解：
y

1x

cos
1x


1x2

，dy

ydx



1x

cos1x
x2
dx



cos1
15计算不定积分x2xdx
解：

cosx2
1x
dx


cos
1dx

1x



si

1x

C
e
16计算定积分xl
xdx1
解：
e1
x
l

xdx

12
x2
l

x
1e
12
ex2dx1e21e211e211x24444
17
计算极限
lim
x4
x2x2

6x5x

84
解：limx4
x2x2
6x85x4
x4x2

lim
x4

x

4

x
1
limx4
x2x1

4241

23
18设y2xsi
3x，求dy
7
f解：y2xsi
3x2xl
23cos3xdyydx2xl
23cos3xdx
19计算不定积分xcosxdx
解：xcosxdxxdsi
xxsi
xsi
xdxxsi
xcosxc
20计算定积分
e15l
xdx
1x
解：
e
1
1
5l
x
x
dx

15
e
1
1

5l

x
d
1
5
l

x

110
1

5l

x

1e
四、应用题
115l
e2115l
127
10
10
2
1欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设长方体底边的边长为
x
，则高
h

108x2
表面积
y

x2

4xh

x2

4x
108x2

x2

432x
所以
y

2x

432x2
令y0得x6（唯一驻点）
由实际问题知，唯一的驻点即最小值点，所以当底边长为6，高为3时用料最省。2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设长方体底边的边长为x，则高h32x2
表面积yx24xhx24x32x2128
x2
x
所以y2x128x2
令y0得x4（唯一驻点）
由实际问题知，唯一的驻点即最小值点，所以当底边长为4，高为2时用料最省。
3用钢板焊接一个容积r