双曲线知识点
指导教师：郑军
一、1
双曲线的定义：
第一定义：
到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜F1F2）的点的轨迹
（PF1PF2
2a
F1F2
（a
为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．新疆源头学子小屋httpwwwxjktygcomwxc
特级教师王新敞wxckt126com
新疆源头学子小屋
httpwwwxjktygcomwxc
特级教师王新敞wxckt126com
要注意两点：（1）距离之差的绝对值（2）2a＜F1F2当MF1－MF22a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当MF1－MF2－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2aF1F2时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞F1F2时，动点轨迹不存在
2
第二定义：
动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数ee＞1时，这个动点
的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线新疆源头学子小屋httpwwwxjktygcomwxc
特级教师王新敞wxckt126com
新疆源头学子小屋
httpwwwxjktygcomwxc
特级教师王新敞wxckt126com
l
叫做双曲线的准线新疆源头学子小屋httpwwwxjktygcomwxc
特级教师王新敞wxckt126com
新疆源头学子小屋
httpwwwxjktygcomwxc
特级教师王新敞wxckt126com
二、双曲线的标准方程：
fx2y21（a＞0，b＞0）焦点在x轴上；a2b2
y2x21（a＞0，b＞0）焦点在y轴上；a2b2
三、
1如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y
轴上a不一定大于b
2
与双曲线x2a2

y2b2
1共焦点的双曲线系方程是
x2a2k

y2b2k
1
3双曲线方程也可设为：x2y21m
0m

例题：已知双曲线C和椭圆x2y21有相同的焦点，且过P34点，求双曲线C的169
轨迹方程。点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系：1点与双曲线：
点
P
x0

y0

在双曲线
x2a2

y2b2
1a
0b0的内部
x02a2

y02b2
1
点
P
x0

y0

在双曲线
x2a2

y2b2
1a
0b0的外部
x02a2

y02b2
1
点
P
x0

y0

在双曲线
x2a2

y2b2
1a
0b0上
x02a2

y02b2
1
2直线与双曲线：（代数法）
设直线
l

y

kx

m
，双曲线
xa
22
y2b2
1a0b0联立解得
b2a2k2x22a2mkxa2m2a2b20
1m0时，bkb直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
a
a
kb，kb，或k不存在时直线与双曲线没有交点；
a
a
2m0时，
k存在时，
若b2a2k20
kb，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；a
若b2a2k20，2a2mk24b2a2k2a2m2a2b2
4a2b2m2b2a2k2
f0时，m2b2a2k2r