1111′
令x41得原方程组的基础解系为
则原方程组的全部解为k1111k为任意常数
λ2
2
3
22λ32λ1λ3
A12
λ8
14
当A0即λ1或λ3时方程组有非零解其中当λ1时原方程组的同解方程组为求得它的一个基础解系为201′此时原方程组的全部解为k1201′k1为任意常数当λ3时原方程组的同解方程组为求得它的一个基础解系为此时原方程组的全部解为
x13x22x30x20
x13x22x302x2x30
112′
k2112′k2为任意常数
1λ
3
1
1
A
11
1λ1λ2λ311λ
1
当λ≠0且λ≠3时A≠0方程组有唯一解其同解方程组为
6
fx1x21λx31x1x2x3
求得
x1x2x3
1λ3
2
11111111当λ0时A1111→000011110000
此时Ra
kARa
kA13方程组有无穷多解其同解方程组为x1x2x31求得它的全部解为
γ100′k1101′k2110′k1k2为任意常数
121112111211→011010001
3
21当λ3时A1
此时Ra
kA3≠Ra
kA2原方程组无解4设
βk1α1k2α2k3α3即
1λk1k2k30k11λk2k3λ2k1k21λk3λ
1
1λ
方程组1的系数行列式A
1
1
11
1
11
1λ1λ30λ0λ2λ311λ00λ
当λ≠0且λ≠3时A≠0方程组1有唯一解此时β可用α1α2α3线性表示
11101110当λ0时A1110→0000Ra
kARa
kA13方程组1有无11100000
穷多解此时β亦可用α1α2α3线性表示
7
f21当λ3时A1
121
112
000013→0114Ra
kA3≠91129
Ra
kA2此时方程组1无解即β不能用α1α2α3线性表示
5
13A05
1112113a0→1226304331b0111
1122630000a0000b21111
显然Ra
kA2当Ra
kARa
kA2时此方程组有解且有无穷多解即当a0且b2时方程组有无穷多解它的同解方程组为
x1x21x3x4x5x232x32x46x5
令x3x4x50时可得原方程组的一个特解为
γ0r