被改变了奇数次（
1次），从而改变了颜色，而其余所有顶点都改变了偶数次（
次）状态，其颜色不变；称这样的m次操作为“一轮操作”，由于每一轮操作恰好只改变一个点的颜色，因此，可以经过有限多轮这样的操作，使所有黑点都变成白点，从而多边形所有顶点都成为白色；也可以经过有限多轮这样的操作，使所有白点都变成黑点，从而多边形所有顶点都成为黑色．
2、当a为偶数时，也可以经过有限多次这样的操作，使得多边形所有顶点都变成一色．具体
说来，我们将有如下结论：如果给定的正多边形开初有奇数个黑点、偶数个白点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全黑，而不能变成全白；反之，如果给定的正多边形开初有奇数个白点、偶数个黑点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全白，而不能变成全黑；，而黑点记为“1”，改变一次颜色，相当于将其赋为此，采用赋值法：将白点改记为“1”值乘以1，而改变a个点的颜色，即相当于乘了a个（偶数个）1，由于1a1；因此当多边形所有顶点赋值之积为1，即总共有奇数个黑点，偶数个白点时，每次操作后，其赋值之积仍为1，因此无论操作多少次，都不能将全部顶点变白．但此时可以变成全黑，这是由于，对于偶数a，则①②中的
为奇数，设AB是多边形的两个相邻顶点，自点A开始，按顺时针方向操作a个顶点，再顺时针方向操作接下来的a个顶点……当这样的操作进行m次后，据②知，点A的颜色被改变了偶数次（
1次），从而颜色不变，而其余所有2010个顶点都改变了奇数次（
次）状态，即都改变了颜色；再自点B开始，按同样的方法操作m次后，点B的颜色不变，其余所有2010个顶点都改变了颜色；于是，经过上述2m次操作后，多边形恰有AB两个相邻顶点都改变了颜色，其余所有2009个点的颜色不变．现将这样的2m次操作合并，称为“一轮操作”；每一轮操作，可以使黑白相邻的两点颜色互换，因此经过有限轮操作，总可使同色的点成为多边形的连续顶点；于是当多边形开初总共有偶数个白点时，每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点，使得有限轮操作后，多边形所有顶点都成为黑色．同理得，如果给定的正多边形开初总共有奇数个白点、偶数个黑点，经过有限次操作，可以使多边形顶点变成全白，而不能变成全黑；（只需将黑点赋值为“1”，白点赋值为“1”，证法便完全相同）．
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