35，检验相应的六
2
个数即可．）
8、28072．提示：添加自然数0，这样并不改变问题性质；先考虑由0到999这一千个数，
将它们全部用三位数表示，得到集M000001999，易知对于每个a∈019，首位为
a的“三位数”恰有100个：a00a01a99，
这样，所有三位数的首位数字和为
10001945100
再将M中的每个数abc的前两位数字互换，成为bac，得到的一千个数的集合仍是M，又将M中的每个数abc的首末两位数字互换，成为cba，得到的一千个数的集合也是M，由此知
∑S
∑S
30045．
1
0
999
999
今考虑四位数：在100010011999中，首位（千位）上，共有一千个1，而在
000000010999中，首位（千位）上，共有一千个0，因此
6
f1999
1
∑S
∑S
10002∑S
10006004528000；
0
02011
1999
999
其次，易算出，

20002011
12011
0
∑
S
72所以，
∑S
∑S
28072．
si
Asi
Bsi
C1，cosAcosBcosC
9、由
即
si
Asi
Bsi
CcosAcosBcosC，
平方得
si
2Asi
2Bsi
2C2si
Asi
Bsi
Bsi
Csi
Csi
Acos2Acos2Bcos2C2cosAcosBcosBcosCcosCcosA
所以
cos2Asi
2Acos2Bsi
2Bcos2Csi
2C
2cosABcosBCcosCA，
即
cos2Acos2Bcos2C2cosAcosBcosC，
所以
cos2Acos2Bcos2C2．cosAcosBcosC10、如图，设MNBI交于点F，连AFAIIEEF，由于中位
线MN∥BC，以及BF平分∠B，则MFMBMA，所以
A
∠AFB900，因IE⊥AE，得AFEI共圆．所以∠AEF∠AIF；
又注意I是ABC的内心，则
M
N
F
ID
EC
ABCB∠AEF∠AIF∠IAB∠IBA900222连DE，在CDE中，由于切线CDCE，所以1C∠CED∠CDE1800C900∠AEF，22
因此DEF三点共线，即有MNBIDE三线共点．
7
f11、1证明：由于2011为质数，而1≤a2011，则a20111，据裴蜀定理，存在正整
数m
，使
am2011
1
于是当a为奇数时，则①中的m
一奇一偶．如果m为偶数，
为奇数，则将①改写成：
①
am20112011
a1，
令m′m2011
′
a，上式成为am′2011
′1，其中m′为奇数，
′为偶数．总之存在奇数m和偶数
，使①式成立；据①，am2011
1②现进行这样的操作：选取一个点A，自A开始，按顺时针方向操作a个顶点，再顺时针方向操作接下来的a个顶点……当这样的操作进行m次后，据②知，点A的颜色r