2011年全国高中数学联赛江西省预赛
试
题
填空题（一、填空题（每小题10分，共80分）1、2011是这样的一个四位数，它的各位数字之和为4；像这样各位数字之和为4的四位数总共有个．
2、设数列a
满足a11a22且对于其中任三个连续项a
1a
a
1都
有a

1a
1
1a
1则通项a
2

．
3、以抛物线yx2上的一点M11为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形MAB与
MCD，则线段AB与CD的交点E的坐标为
．．
4、设xyz∈Rxyz1，则函数fxyzxy2z3的最大值是5、si
60si
420si
660si
780
．
6、正三棱锥DABC的底面边长为4，侧棱长为8，过点A作与侧棱DBDC都相交的截面AEF，那么，AEF周长的最小值是
．．
7、满足x27y22011的一组正整数xy8、用S
表示正整数
的各位数字之和，则∑S

12011
．
二、解答题（共3题，合计70分）解答题（
9、（20分）、设ABC1800，且满足：cos2Acos2Bcos2C的值．cosAcosBcosC
si
Asi
Bsi
C1，求cosAcosBcosC
1
f10、25分）（如图，ABC的内心为I，MN分别是ABAC
的中点，ABAC，内切圆⊙I分别与边BCCA相切于DE；证
M
A
N
F
明：
MNBIDE三线共点．
B
ID
EC
11、25分）在电脑屏幕上给出一个正2011边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序（执行这样的操作：每次可选中多边形连续的a个顶点（其中a是小于2011的一个固定的正整数），一按鼠标键，将会使这a个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑；1、证明：如果a为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色，也可以
经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色；
2、当a为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？证明你的
结论．
2
f解
答
1、20．提示：这种四位数x1x2x3x4的个数，就是不定方程x1x2x3x44满足条件x1≥1，
x2x3x4≥0的整解的个数；即y1x2x3x43的非负整解个数，其中y1x11，易知这种解
有C341C620个，即总共有20个这样的四位数．（注：也可直接列举．）
341
2、3
2．提示：由条件得，
2
a
1a
1
1a
1，
所以

1a
1a
1a
a
1，
故
a
1a
1，而a2a11；a
a
1
1a
1a
于是
a
1a
a
a
1aa32a2a1a
a
1a
1a
r