接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）
SPABSP1EF
322aa26r232ar63r．4
又r1，a46，所以
SPABSP1EF24363183．
答12图2
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数fxsi
x的图像与直线ykxk0有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：
cosα1α2．si
αsi
3α4α
证
fx的图象与直线ykx
k0的三个交点如答13图所
示，且在π3π内相切，其切点2为Aαsi
α，α∈π3π．2
答13图
3由于f′xcosx，x∈ππ，所以cosαsi
α，即αta
α．2α
因此
cosαcosαsi
αsi
3α2si
2αcosα14si
αcosαcos2αsi
2α4si
αcosα1ta
2α4ta
α1α2．4α
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A卷）第7页（共9页）
f14．解不等式
log2x123x105x83x611log2x41．
解法一由1log2x41log22x42，且log2y在0∞上为增函数，故原不等式等价于
x123x105x83x612x42．
即分组分解
x123x105x83x62x410．x12x10x82x102x82x64x84x64x4x6x4x2x4x210，
x82x64x4x21x4x210，
所以
x4x210，
x2
所以x2
15215x0．22
151515，即．x222
故原不等式解集为
512
51．2
解法二由1log2x41log22x42，且log2y在0∞上为增函数，故原不等式等价于
x123x105x83x612x42．
即
216x63x43x212x22x2132x21，2xx13122x2132x21，x2x
令gtt32t，则不等式为
g
1gx21，2x
显然gtt32t在R上为增函数，由此上面不等式等价于
1x21，x2
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A卷）第8页（共9页）
f即x22x210，解得x2故原不等式解集为
512
，
512
51．2
15．如题15图，P是抛物线y22x上的动点，点BC在y轴上，圆x12y21内切于
PBC，求PBC面积的最小值．
解设Px0y0B0bC0c，不妨设bc．直线PB的方程yb
y0bx，x0
化简得y0bxx0yx0b0．又圆心10到PB的距离为1，
yr