．
12

1

1a
1a
，
1
2
1
11
22a
1
2
1
121，a
1
2
111．a
1
2
1
由此得2a
1令b
a

111，a10，b1a122
1
1111有b
1b
，故b
，所以a
．22
12
11．设fx是定义在R上的函数，若f02008，且对任意x∈R，满足
fx2fx≤32x，fx6fx≥632x，则f2008
解法一由题设条件知
220082007
．
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A卷）第5页（共9页）
ffx2fxfx4fx2fx6fx4fx6fx≥32x232x4632x32x，
因此有fx2fx32x，故
f2008f2008f2006f2006f2004f2f0f032200622004221f0
3
4100311f041
220082007．
解法二令gxfx2x，则
gx2gxfx2fx2x22x≤32x32x0，gx6gxfx6fx2x62x≥632x632x0，
即gx2≤gxgx6≥gx，故gx≤gx6≤gx4≤gx2≤gx，得gx是周期为2的周期函数，所以f2008g200822008g022008220082007．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是
723
．
解如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面A1B1C1平面
ABC，与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体PA1B1C1的中心，PO⊥面A1B1C1，
垂足D为A1B1C1的中心．
1因VPABCSABCPD1113111
4VOA1B1C1
14SA1B1C1OD，3
故PD4OD4r，从而POPDOD4rr3r．记此时小球与面PAB的切点为P，连接OP，则11
PPPO2OP23r2r222r．11
考虑小球与正四面体的一个面不妨取为PAB相切时的情况，易知小球在面PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为PEF，如答12图2．记正四面体1答12图1
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A卷）第6页（共9页）
f的棱长为a，过P作PM⊥PA于M．11因∠MPP1
3π，有PMPPcosMPP22r6r，故小三角形的边长11
6
2
PEPA2PMa26r．1
小球与面PAB不能r