（6）均值不等式法：利用基本关系fx20两个正数的均值不等式ab2ab在应用时要注意“一
正二定三相等”；利用基本不等式ab2ababc33abcabcR，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例1、求函数yx22x2x1的值域x1
解：原函数可化为yx121x112x1
x1
x1
当且仅当x0时取等号，故值域为2
ysi
x12cosx124
例3、求函数
si
x
cosx
的值域
解：原函数变形为：
fysi
2xcos2x11si
2xcos2x
1ces2xsec2x3ta
2xcot2x
33ta
2xcot2x25当且仅当ta
xcotx
即当
x

k

4
时
kz
，等号成立
故原函数的值域为：5
（7）、根判别式法：对于形如
y

a1x2a2x2
b1xb2x

c1c2
（
a1
，
a2
不同时为
0
）的函数常采用此法，就是把函数
转化成关于x的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，
求得原函数的值域．
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如
a
y

bkx2
型：直接用不等式性质
b
y

x2
bxmx



型先化简，再用均值不等式
例：y
x1x2

1x1

12
x
c
y
x2mx
型x2mx

通常用判别式
d
y

x2
x
mx


型
法一：用判别式
法二：用换元法，把分母替换掉
例：y

x2x1x1
（x1）2x（x11）1
（x1）
x
1
1

1

2

1

1
例
1、求函数
y

1x1
x2x2
的值域．
解：原函数化为关于x的一元二次方程y1x2xy10．
f（1）当y1时，xR，124y1y1≥0，解得1≤y≤3；
2
2
（2）当
y

1时，
x

0
，而1

1，322

．
故函数的值域为

1，322

．
评注：①在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零；②使用此法须在xR或仅有个别值（个
别值是指使分母为0的值，处理方法为将它们代入方程求出相应的y值，若在求出的值域中则应除去此y
值）不能取的情况下，否则不能使用，如求函数
y

1x1
x2x2
，
x
2，3
的值域，则不能使用此方法．
例2、求函数yxx2x的值域
解：两边平方整理得：2x22y1xy20（1）∵xR∴4y128y0
解得：12y12
但此时的函数的定义域由x2x0，得0x2
由0，仅保证关于x的方程：2x22y1xy20在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，
2上，即不能确保方程（1）有实根，由0求出的范围可能比y的实际范围r