以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．
例1、求fxx1x的值域．
解：令1xt0，则x1t2t≥0，
f
x

f
1t2
1t2
t


t

122

54
≤
54
，
f所以函数值域为

，54

．
评注：利用引入的新变量t，使原函数消去了根号，转化成了关于t的一元二次函数，使问题得以解决．用
换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域．小结：
【同步练习3】求函数yx12x的值域。
解：由12x0，得x1。令12xtt0
2
得x1t2，于是y1t2t1t121，因为t0，所以y1。故所求函数值域为
2
2
2
2
∞，12。
例2、求函数yx1x2x2的值域。
解：设xsi
，则2
ysi
cossi
21si
211cos212si
2。
2
2
224
所以12
2

y
12
2
，故所求函数值域为
1
2
2，12
2

。

【同步练习4】求函数yx45x2的值域。
解：由5x20，可得x5
故可令x5cos0
y5cos45si
10si
44
∵0
5
4
44
当4时，ymax410
当时，ymi
45
故所求函数的值域为：45410
小结：
f【同步练习5】
1、求函数yx12x的值域（）
2、求函数yx21x12的值域。（）
解：因1x120即x121故可令x1cos0
∴ycos11cos2si
cos1
2si
14
005
∵
44
2si
1
2
4
02si
1124
故所求函数的值域为012
3、已知函数
f
x
的值域为

38

59
，求函数
y

f
x
12fx的值域
（）
（4）、函数有界性法（方程法）直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例1、求函数ysi
x3的值域。
si
x3
解：因为si
x30，所以ysi
x3ysi
x3，则si
x3y1
1y
由于
si
x
1，所以
3y1
1y
1，解得2
y


12
。故所函数的值域为2，12
。
求函数
y

x2x2
11
的值域
x21y01y11y
原函数的值域为11
例2、求函数y3si
x1的值域。2cosx3
f解：因为2cosx30，所以2ycosx3y3si
x1，
即3si
x2ycosx3y1，所以3si
x2ycosx3y1，令
4y29
4y29
4y29
cos3，si
2y得si
x3y1，
4y29
4y29
4y29
由
3y14y29
1，解得2
y
45
，故所函数的值域为2，45
。
【同步练习
6】求函数
y

exex
11，
y

2si
11si
，
y

2si
11cos的值域
yex1ex1y0
ex1
1y
y2si
1si
1y1
1si

2y
y2si
12si
1y1cos1cos
2si
ycos1y
4y2si
x1y即si
x1y4r