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高一数学
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第5讲函数的单调性
我们在初中研究了一次函数、二次函数的图象，研究了yaxba≠0与yax2bxca≠0函数在某个区间内的增大或减小的性质这节课我们探讨一般函数的单调性。问题1分别作出函数y3x和yx22x1的图象，并观察说出在定义域∞∞内函数值的增减变化情况。（1）fx3x的图象在定义域∞∞内，自左至右是上升的，即：函数值fx随自变量x的增大而增大。（2）gxx22x1的图象在对称轴左方的区间∞1是下降的，在对称轴右方的区间1∞是上升的，既：在区间∞1内，gx随自变量x的增大而减小，在区间1∞内，gx随自变量x的增大而增大
定义1：设函数yfxx∈A，对于区间abA1、如果任意x1、x2∈abx1x2时，都有fx1fx2那么就说，函数yfx在．．．．．．．．．．．．．．．．区间ab内是增函数2、如果任意x1、x2∈ab，x1x2时，都有fx1fx2那么就说，函数yfx在．．．．．．．．．．．．．．．．区间ab内是减函数
定义2：若函数yfx在某个区间内是增函数或减函数，则称fx在这一区间内具有单调性，该区间叫做fx的单调区间。
问题2思考函数的单调性与函数的图象之间的关系。1、fx是增（减）函数图象自左到右上升（下降）2、图象的峰（谷）函数增（减）变减（增）点函数的极大（小）值点
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定义3：设函数yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有fx≤M（fx≥M）（2）存在x0∈I，使得fx0M那么，我们称M是函数yfx的最大值（最小值）。
问题3如图是定义在闭区间5，5上的函数fx的图象。说出单调区间以及在每一单调区间上fx是增函数，还是减函数。
说明1函数的单调性与定义的区间有关，它是函数的局部性质。说明2因函数的单调性是对区间而言，单独点没有增减变化，所以考虑区间的单调性时，可以不包括端点。说明3初等函数均可分段单调。
函数单调区间与单调性的判定方法定义法1○任取x1，x2∈D，且x1x2；2○作差fx1－fx2；3○变形（通常是因式分解和配方）；4○定号（即判断差fx1－fx2的正负）；5○下结论（指出函数fx在给定的区间D上的单调性）．
说明4在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
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