Pkk1以及Rk的定义这一项可以写作：这一公式对于任何
卡尔曼增益Kk都成立。如果Kk是最优卡尔曼增益，则可以进一步简化，请见下文。§最优卡尔曼增益的推导卡尔曼滤波器是一个最小均方误差估计器，后验状态误差估计（英文：aposterioristateestimate）是
我们最小化这个矢量幅度平方的期望值，
，这等同于最小化后验估计协
方差矩阵Pkk的迹（trace）。将上面方程中的项展开、抵消，得到：
f当矩阵导数是0的时候得到Pkk的迹（trace）的最小值：
此处须用到一个常用的式子，如下：
从这个方程解出卡尔曼增益Kk：
这个增益称为最优卡尔曼增益，在使用时得到最小均方误差。§后验误差协方差公式的化简在卡尔曼增益等于上面导出的最优值时，计算后验协方差的公式可以进行简化。在卡尔曼增益公式两侧的右边都乘以SkKkT得到
根据上面后验误差协方差展开公式，
最后两项可以抵消，得到
这个公式的计算比较简单，所以实际中总是使用这个公式，但是需注意这公式仅在使用最优卡尔曼增益的时候它才成立。如果算术精度总是很低而导致数值稳定性出现问题，或者特意使用非最优卡尔曼增益，那么就不能使用这个简化；必须使用上面导出的后验误差协方差公式。
自适应滤波器是能够根据输入信号自动调整性能进行数字信号处理的数字滤波器。作为对比，非自适应滤波器有静态的滤波器系数，这些静态系数一起组成传
f递函数。对于一些应用来说，由于事先并不知道所需要进行操作的参数，例如一些噪声信号的特性，所以要求使用自适应的系数进行处理。在这种情况下，通常使用自适应滤波器，自适应滤波器使用反馈来调整滤波器系数以及频率响应。总的来说，自适应的过程涉及到将代价函数用于确定如何更改滤波器系数从而减小下一次迭代过程成本的算法。价值函数是滤波器最佳性能的判断准则，比如减小输入信号中的噪声成分的能力。随着数字信号处理器性能的增强，自适应滤波器的应用越来越常见，时至今日它们已经广泛地用于手机以及其它通信设备、数码录像机和数码照相机以及医疗监测设备中
假设医院正在监测一个患者的心脏跳动，即心电图，这个信号受到50Hz（许多国家供电所用频率）噪声的干扰剔除这个噪声的方法之一就是使用50Hz的陷波滤波器（e
otchfilter）对信号进行滤波。但是，由于医院的电力供应会有少许波动，所以我们假设真正的电力供应可能会在47Hz到53Hz之间波动。为了剔除47到53Hz之间的频率的静态滤波器将会大幅度地降低心电图的质量，这是因为在这个阻带之内r