第二十一讲
相似三角形的性质
两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边之比称为它们的相似比，可以想到这两个相似三角形中其他一些对应元素也与相似比有一定的关系．1．相似三角形对应高的比、对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；2．相似三角形周长之比等于相似比；3．相似三角形面积之比等于相似比的平方．以上诸多相似三角形的性质，丰富了与角、面积等相关的知识方法，开阔了研究角、面积等问题的视野．
例题求解【例1】如图，梯形ABCD中，AD∥BCADBC，AC、BD交于点O，若S△OABAOD与△BOC的周长之比是浙江省绍兴市中考题．
6S梯形ABCD，则△25
思路点拨只需求
SAD的值，而题设条件与面积相关，应求出AOD的值，注意图形中SBOCBC
隐含的丰富的面积关系．注相似三角形的性质及比例线段的性质，在生产、生活中有广泛的应用．人类第一次运用相似原理进行测量，是2000多年前泰勒斯测金字塔的高度，泰勒斯是古希腊著名学者，有“科学之父”的美称．他把逻辑论证引进了数学，确保了数学命题的正确性．使教学具有不可动摇的说明力．【例2】如图，在平行四边形ABCD中．E为CD上一点，DE：CE2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABFA．4：10：25B．4：9：25C．2：3：5D．2：5：25黑龙江省中考题
思路点拨运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比．【例3】如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C90°，AB5cm，BC3，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长．
思路点拨要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出．
f注本例是一道有实际应用背景的开放性题型，通过分析、推理、构思可能的方案，再通过比较、鉴别、筛选出最佳的设计方案，问题虽简单，但基本呈现了现实的生产中产生最佳设计方案的基本思路．【例4】如图．在△ABC的内部选取一点P，过P点作3条分别与△ABC的三边平行的直线，这样所得的3个三角形t1、t2、t3的面积分别为4、9和49，求△ABC的面积．美国数学邀请赛试题
思路点拔图中有相似三角形、平行四边形，通过相似三角形性质建立面积关系式，关键是恰当选择相似比，注意等线段的代换．追求形式上的统一．【例5】如图，△ABC中．D、E分别是边BC、AB上的点，且∠l＝∠2∠3，如果△mm25ABC、△Er