初中数学竞赛中不定方程的整数解问题1利用整数分离在解决不定方程问题时，首先逆用分式的加减法，将分式拆分成一个整数与一个分子为常数的分式的和或差的形式，然后利用整数整除的性质通过对简单分式的分析来解决问题。这种方法是处理含有分式不定方程的整数解问题的一种有效途径。例1方程
x3y0的整数解共有几组？x1
2因式分解法当不定方程的一边容易化为两个一次因式的乘积，另一边是一个整数时，通常用分解因式法解决不定方程的整数解问题。例2方程2x25xy2y22007的所有不同的整数解共有几组
例3
设直角三角形的两条直角边长分别为ab斜边长为c若abc均为正整数，且
1cabab，求满足条件的直角三角形的个数？3
1
f3判别式法在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，于是，可利用△≥0，求出参数的范围，然后求解。例4．关于xy的方程xxy2y229的整数解（xy）有几组？
2
4放缩法是指根据已知条件将不定方程中某些未知数放大或缩小，从而确定某个未知数的取值范围，进而确定该未知数的整数解，然后将其代入原方程求其他未知数的整数解一种解题方法。例5当xyz时，求方程
1117的正整数解。xyz8
5利用整除和同余例6．关于xy的方程xy208xy的所有正整数解为多少？
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2
f6参数法在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，则可利用设参数法，即设△k，然后求出方程的解，再利用数论的相关知识求解，或通过因式分解，直接从△k求解例7设a为质数，b为正整数，且92ab25094a511b。求ab的值。
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练习题1求方程xyxy6的整数解。
2求满足方程x4y2011的整数对（xy）的组数有多少？
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3
f3方程3x2xyy23x2y的非负整数解（xy）的组数为几组？
4求方程
1115的正整数解。xyz6
5关于m
的方程5m6m
7
2011是否存在整数解？若存在，请写出一组解；
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若不存在，请说明理由。
4
f初中数学竞赛中与质数有关的问题
1．常用知识与结论（1）除2以外所有的质数均为奇数。（2）因子分解唯一性定理。（3）已知pq均为质数，若pq则pq（4）已知p为质数，ab为整数，若pab，则pa或pb推论若pa，则pa2例题1连续的
个正整数，在每个数写成标准的质因数乘积分解式r