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初中数学竞赛辅导资料（10）二元一次方程的整数解
内容提要1，二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程axbyc中，若ab的最大公约数能整除c则方程有整数解。即如果（ab）c则方程axbyc有整数解显然ab互质时一定有整数解。例如方程3x5y15x2y79x3y6都有整数解。返过来也成立，方程9x3y10和4x2y1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（ab）中的ab实为它们的绝对值。2，二元一次方程整数解的求法：若方程axbyc有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）叫做参变数。。k方法一，整除法：求方程5x11y1的整数解解：x
111y1y10y1y2y15551y设，则y15k2kk是整数）5
x11k2（k是整数）y15k
把（2）代入（1）得xk215k11k2∴原方程所有的整数解是方法二，公式法：设axbyc有整数解
xx0xx0bk则通解是（x0y0可用观察法）yy0akyy0
3，求二元一次方程的正整数解：①出整数解的通解，再解xy的不等式组，确定k值②用观察法直接写出。例题例1求方程5x－9y18整数解的能通解
189y1510y3y3y32y5553y设，y3－5k代入得x9－9kk（k为整数）5
解x∴原方程整数解是
x99ky35k
（k为整数）
又解：当xo时，y－2，∴方程有一个整数解
x0x09y它的通解是（k为整数）y25ky2
从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
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例2，求方程5x6y100的正整数解解：x设
1006yy20y1，55
ykk为整数，则y5k25
206k05k0
把（2）代入（1）得x206k，∵
x0y0
解不等式组
得0＜k
20k的整数解是1，2，3，6
x14y5
x8y10x2y15
∴正整数解是
例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得3x5y38（xy都是正整数）∵x＝1时，y7，∴
x1是一个整数解y7
∴通解是
x15k（k为整数）y73k
解r