初中数学竞赛专题：不定方程
§211二元一次不定方程2111★求不定方程xy2的正整数解．
解析因为312422532…所以这个方程的正整数解有无数组它们是
其中
可以取一切正整数．2112★求11x15y7的整数解．
x
2

y



解析1将方程变形得
x715y．
11
因为x是整数所以715y应是11的倍数．由观察得x02y01是这个方程的一组整数解所以方程的解为
x

y

215t111t
t
为整数．
解析2先考察11x15y1通过观察易得
1141531
所以
114715377
可取x028y021．从而
x

y

2815t2111t
t
为整数．
评注如果a、b是互质的整数c是整数且方程
axbyc①
有一组整数解x0、y0．则此方程的一切整数解可以表示为

xy

x0y0

btat
其中t0±1±2±3…．
2113★求方程6x22y90的非负整数解．
解析因为6222所以方程两边同除以2得3x11y45．①
f由观察知x14y11是方程3x11y1②
的一组整数解从而方程①的一组整数解为
x0454180

y0

45
1

45
所以方程①的一切整数解为
x18011t

y

45

3t
因为要求的原方程的非负整数解所以必有
18011t≥0③453t≥0④
由于t是整数由③、④得15≤t≤16所以只有t15t16两种可能．当t15时x15y0；当t16时x4y3．所以原方程的非负整数解是
x15x4

y

0

y

3
2114★求方程7x19y213的所有正整数解．
解析这个方程的系数较大用观察法去求其特殊解比较困难碰到这种情况我们可用逐步缩小系数
的方法使系数变小最后再用观察法求解．用方程
7x19y213①
的最小系数7除方程①的各项并移项得
x21319y302y35y．②
7
7
因为x、y是整数故35yu也是整数于是有5y7u3．再用5除此式的两边得
7
y37uu32u．③
5
5
令32uv整数由此得
5
2u5v3．④
由观察知u1v1是方程④的一组解．将u1代入③得y2．y2代入②得x25．于
f是方程①有一组解x025y02所以它的一切解为
x2519t

y

2

7t
t012
由于要求方程的正整数解所以
2519t027t0
解不等式得t只能取01．因此得原方程的正整数解为
x25x6

y

2

y

9
2115★求方程37x107y25的整数解．
解析因为1072373337133433841．
为用37和107表示1我们把上述辗转相除过程回代得
1338×43748×4379×4379×37339×338×37
9×1072×378×379×10726×37
37×26107×9
由此可知x126y19是方程37x107y1的一组整数解．于是
x02526650y0259225
是方程37x107y25的一组r