二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：1．二元函数的无条件极值1二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。2二元函数取得极值的必要条件：设zfxy在点x0y0处可微分且在点x0y0处有极值，则fxx0y00，fyx0y00，即x0y0是驻点。3二元函数取得极值的充分条件：设zfxy在x0y0的某个领域内有连续上二阶偏导数，且fxx0y0fyx0y00，令fxxx0y0A，
fxyx0y0B，fyyx0y0C，则
当B2AC0且A0时，fx0y0为极大值；当B2AC0且A0，fx0y0为极小值；
B2AC0时，x0y0不是极值点。
注意：当B2－AC0时，函数zfxy在点x0y0可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例1求函数zx3y2－2xy的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值【解】先求函数的一、二阶偏导数：
z2zz23x2y，2y2x．26xxyx
2z2xy
2z2．y2
再求函数的驻点．令
3x22y0zz0，0，得方程组xy2y2x0
22（，）求得驻点0，0、．33利用定理2对驻点进行讨论：
f1对驻点00，由于A0zfxy的极值点．
B－2，C2，B2－AC0故00不是函数
22（，）2对驻点，由于A4B－2，C2B2－AC－40且A0则33224f（，）为函数的一个极小值．3327
例2：（2004数学一）设zzxy是由x26xy10y22yzz2180确定的函数，求zzxy的极值点和极值【分析】本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。【解】因为x26xy10y22yzz2180，所以
2x6y2yzz2z0，xx
6x20y2z2y
z0xz0y
zz2z0yy
令
x3y0得3x10yz0
故
x3yzy
将上式代入x26xy10y22yzz2180，可得
x9y3z3x9y3z3
或
由于
22y
r