二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：
1．二元函数的无条件极值
1二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
2二元函数取得极值的必要条件：设zfxy在点x0y0处可微分且在
点x0y0处有极值，则fxx0y00，fyx0y00，即x0y0是驻点。
3二元函数取得极值的充分条件：设zfxy在x0y0的某个领域内有
连续上二阶偏导数，且fxx0y0fyx0y00，令fxxx0y0A，
fxyx0y0B，fyyx0y0C，则
当B2AC0且A0时，fx0y0为极大值；
当B2AC0且A0，fx0y0为极小值；
B2AC0时，x0y0不是极值点。
注意：当B2－AC0时，函数zfxy在点x0y0可能有极值，也可能没有
极值，需另行讨论例1求函数zx3y2－2xy的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零
确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值【解】先求函数的一、二阶偏导数：
zx

3x2
2y，
zy

2y

2x．
2zx2

6x
2z2
xy
2z2．y2
再求函数的驻点．令
zx

0，
zy

0，得方程组
3x22y
2y02x0
求得驻点0，0、（2，2）．33
利用定理2对驻点进行讨论：
f1对驻点00，由于A0B－2，C2，B2－AC0故00不是函数zfxy的极值点．
2对驻点（2，2），由于A4B－2，C2B2－AC－40且A0则33
f（2，2）4为函数的一个极小值．3327
例2：（2004数学一）设zzxy是由x26xy10y22yzz2180确定的函
数，求zzxy的极值点和极值
【分析】本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。
【解】因为x26xy10y22yzz2180，所以2x6y2yz2zz0，xx6x20y2z2yz2zz0yy
令
zxz

00
y
得
x3y03x10yz0
故
x3y

z

y
将上式代入x26xy10y22yzz2180，可得
x9
x9

y

3
或

y

3
z3
z3
由于
2
2y
2zx2

2z2x
2z
2zx2

0
，
62z2y2z2zz2z2z0xxyyxxy
202z2z2y2z2z22z2z0，
yyy2y
y2
f所以
A2zx2
1，B2z
6933
xy
1，C2z
933
2
y2
5，3933
故ACB210，又A10，从而点93是zxy的极小值点，极小值为
36
6
z933
类似地，由
A2zx2
1，B2z
933
6r