二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：1．二元函数的无条件极值
1二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
2二元函数取得极值的必要条件：设zfxy在点x0y0处可微分且在
点x0y0处有极值，则fxx0y00，fyx0y00，即x0y0是驻点。
3二元函数取得极值的充分条件：设zfxy在x0y0的某个领域内有
连续上二阶偏导数，且fxx0y0fyx0y00，令fxxx0y0A，fxyx0y0B，f
yyx0y0C，则当B2AC0且A0时，fx0y0为极大值；当B2AC0且A0，fx0y0为极小值；
B2AC0时，x0y0不是极值点。
注意：当B2－AC0时，函数zfxy在点x0y0可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例1求函数zx3y2－2xy的极值．
【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的先求出一阶偏导，再令其为
点，确定极值点即可，
然后用二阶偏导确定是极大值还零是极小
并求出相应的极
值，
值
【解】先求函数的一、二阶偏导数：2
zz2z3x2y，2y2x．26x
2z
xyx
xy
2z
22．
y2
再求函数的驻点．令z0，
x
得方程组
2
3x2y02y2x0
f22
求得驻点0，0、．2，2
33
利用定理2对驻点进行讨论：
2．
f1对驻点00，由于A0B－2，C2，B2－AC0故00不是函
数zfxy的极值点．
2对驻点2，2，由于A4B－2，C2B2－AC－40且A0则33
224
f2，2
4为函数的一个极小值．
3327
例2：2004数学一设zzxy是由x26xy10y22yzz2180确定的函
数，求zzxy的极值点和极值
分析】本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体
现了考研的基本要求。
解】因为x26xy
2x6y2y6x20y2z
10y22yzz
2180，所以
z
2z
x
2y
z
0
x，
z
z
2z
0
y
y
z
0
xz
0y
x3y03x10yz0
3yzy
将上式代入
2x
6
xy
10y22yzz2180，可得
x9
9
3
3
3
由于
2
22
z
z2
222zx
y2
x
2
2
zz622y
xxy
2
z
0，
2
x
zzz
22z0yxxy
zz20222y2yy
2yy
2y
22z20，
22
zz2z
f所以
2x2933
2
B
2z
xy933
5
2
2z
933
故ACB2
0，又A
36
z933
类似地，由
0，从而点93是zxy的极小值点，极小值为
可知ACB
6
值为
933
2
2zxy
933
2
2z
y2
933
360，又A
1
10，从而点93是zxy的极大值点，
极大
z933评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值r