2zz22z22z0，xx2x2
62
z2zzz2z2y22z0xxyyxxy
202
zz2zz2z22y2222z20，yyyyy
f所以
A
2zx2
933

12z，B6xy
12z，C29332y
933

5，3
故ACB2z933
110，又A0，从而点93是zxy的极小值点，极小值为366
类似地，由
A2zx212z，B9336xy
933

12z，C22y
5，9333
可知ACB2值为z933
110，又A0，从而点93是zxy的极大值点，极大366
【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意xyz满足原方程。2．二元函数的条件极值
拉格朗日数乘法：设fxyxy在点x0y0某领域内有连续偏导数，引入辅助函数
Fxyfxyxy
解联立方程组
Fxfxxyxxy0Ffyxyyxy0yxy0
得x0y0可能是zfxy在条件xy0下的极值点
例3经过点111的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小．并求此最小体积．【分析】条件极值经常考应用题。这一点大家应引起重视。【解】设所求平面方程为
xyz1abca0b0c0．
因为平面过点111，所以该点坐标满足此平面方程，即有
f1111．abc
1
设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V，则
V1abc．61111abc1．6abc
2
原问题化为求目标函数（2）在约束条件（1）下的最小值．作拉格朗日函数
Labc
求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：
16bca201ac20b61ab0c26
由此方程组和（9）解得abc3．由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故abc3为所求．即平面xyz3．与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小．最小体积为
Vmi
139362
例4某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入R万元与电视广告费x万元及报纸广告费y万元之间的关系为：
R1514x32y8xy2x210y2．
⑴在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；⑵若提供的广告费用为总额1．5万元，求相应最佳广告策r