第9
●计名释义
瞎子开门伸手摸缝
命题人本来为解题人设计了“题门”，即所谓题目的入口处但对“瞎子”来讲，他不是在看，而是用手去摸在摸的过程中，他没有能力关心整个大门，而只是关心这个门的门缝如果遇上了门缝，他便将手伸到门的后面，轻轻地把门闩拉掉，题门也就随之开了
●典例示范典例示范
（2005年鄂卷第22题）［例题］例题］已知不等式
1111Llog2
，其中
为大于2的整数，log2
表示不超23
2
新疆王新敞
奎屯
过log2
的最大整数设数列a
的各项为正，且满足a1bb0a
≤

a
1，
a
1

234L
新疆王新敞奎屯
（Ⅰ）证明：a

2b，
345L；2blog2

（Ⅱ）猜测数列a
是否有极限？如果有，写出极限的值；（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当
N时，对任意b0，都有a

15
新疆王新敞奎屯
，，［分析］此题有3扇门，即题问（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）用手去摸，发现（Ⅱ）是个门缝，分析］因为（Ⅱ）最轻便：一是“猜”，二是“写出”（不要求说道理）于是，可以把手伸到（Ⅰ）的后面，把（Ⅱ）当作门闩抽掉［解Ⅱ］因为0a

2b而后者的极限是0，所以a
的极限是02blog2

［插语］解（Ⅱ）之时，承认并利用了（Ⅰ）的结果插语］［评说］这么难的压轴题，竟这么容易地拿下了它的三分之一即使最后不能攻下（Ⅰ），而（Ⅱ）的分数却已经拿到手了拿下（Ⅱ）之后，可以直抓后面的（Ⅲ）既然a
→0，那么要它a
求N罢了这时，仍然可以把（Ⅰ）的结果当作已知［解Ⅲ］
1，那就解不等式5
2b2（放大为了化简）2blog2
log2

令
21log2
≥log2
10
2101024，log2
5
f故取N1024，可使当
N时，都有a

15
新疆王新敞
奎屯
［插语］（Ⅱ）（Ⅲ）已破，题门大开，回师攻（Ⅰ）形势更好，［解Ⅰ］问题简化为已知：①
1111Llog2
23
2
②a
≤

a
1
a
1
求证：③a

2b2blog2

［插语］先抓住求证式③，其右边的分母中有变量log2
，顺藤摸瓜，找到已知式①中的log2
，不过它却在“分子”上至此，快摸到问题（Ⅰ）的“门闩”［续解］式③变为
12blog2
11≥log2
a
2ba12
得式④
111≥log2
a
a12
［插语］式④即为题（Ⅰ）的门闩以下用式④与式②连接，从式②中变出
1a

［续解］由式②得
1
a
111≥a
a
1a
1

得式⑤
111≥a
a
1

依次令
234……得
111≥a2a12r