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第1芝麻开门点到成功
●计名释义七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了●典例示范［例题］（2006年鄂卷第15题）将杨辉三角中的每一个数C
都换成分例题］数
r
1，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形从r
1C

莱布尼茨三角形可以看出
111，其中xrxr
1C
1C
C
1
令

a

111111L223123060
C
1
1C

，
则

→∞
lima

［分析］一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物从分析］何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点的主意
11
［解Ⅰ］
将等式
111与右边的顶点三角形对rxr
1C
1C
C
1
1121
r
C
1
应（图右）自然，
有
1
r
1C


12
x
1C


11
对此，心算可以得到：
1，r0，x1对一般情况讲，就是xr1这就是本题第1空的答案［插语］本题是填空题，只要结果，不讲道理因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，插语］点到成功要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出xr1
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第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项
13
［解Ⅱ］在三角形中先找到了数列首项
a

1，并将和数列3
1111L中的各项依次“以点连线”（图右实线），3123060
1311因为在22
实线所串向下一分串）所成
各数之和就是a
这个a
，就等于首项左上角的那个
为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所数列的极限是0因此得到lima
2这就是本题第2空的答案
→∞
1
，这里的点是一个具体的数，采用的方法是以点串线三角［点评］解题的关键是“以点破门”点评］形中的实线，实线上端折线所对的那个数
1就是问题的答案21这个数开始，向左下连线（无穷射线），20
13
事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质例r