第4
●计名释义计名释义
关羽开门刀举成功
关羽不同于诸葛诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀“过关斩将”用这大刀，“水淹七军”用这大刀数学上的“分析”“分解”“分割”等，讲的都是刀工关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七、、刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！
●典例示范典例示范
［例1］（2006年四川卷第19题）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，ADAA1a，AB2a（Ⅰ）求证：MN∥面ADD1A1；（Ⅱ）求二面角PAED的大小；（Ⅲ）求三棱锥PDEN的体积［分析］这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的2倍，这正是“关羽开门”的对象：用分析］刀从中一劈，则分成2个相等的正方体对于正方体，我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌［解Ⅰ］取D1C1的中点Q，过Q和MN作平面QRST显然，M、N都在这平面里解易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MN∥BCC1B1MN∥面ADD1A1（证毕）［插语］其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功以后的（Ⅱ）和（Ⅲ），都可转化到正方体里进行（从略）过点Q（2p，的直线与抛物线y22px交于相异两点A、0）【例2】04重庆卷题21设p0是一常数，】B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）（Ⅰ）试证：抛物线顶点在圆H的圆周上；（Ⅱ）并求圆H的面积最小时直线AB的方程AB欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：（1）证OH【分析】（Ⅰ）是圆H的直径，分析】2证OA2OB2AB2（3）证∠AOB90°即OA⊥OB，等显然，利用向量知识证OAOB0当为明智之举当直线AB的方程为x2p代入y22pxy24p2y±2p∴ABy1y24p【解答】（Ⅰ）AB⊥x轴时，解答】显然，满足OQ
1AB2
1AB此时Q、H重合∴点Q在⊙H上2
如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：yta
αx2p
fx
y2y2代入：yta
α2pta
α即ta
αy22py4p2ta
α02p2p
2py1y24p2ta
α
此方程有不同二实根y1y2∴y1y2
22y1y216p4∵OAOBx1x2y1y2y1y24p2022p2p4p
∴OA⊥OB故点O仍在以AB为直径的圆上【分析】Ⅱ为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表达式，直观上我们已可推测到当AB⊥x轴时，弦AB之长最短这就是论证方向，为此又有多种途径1用直线的点斜式与抛物r