3；②当时，△APQ∽△ADB，
∴
，
解得：t12．∴当t3或12时，△APQ与△ABD相似．
7．（2015上饶校级模拟）如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且
，
AEEB．求证：△AED∽△CBD．
【解答】证明：∵△ABC为正三角形，∴∠A∠C60°，BCAB，∵AEBE，∴CB2AE，
∵
，
∴CD2AD，
f∴，而∠A∠C，∴△AED∽△CBD．
8．（2015秋寿光市期末）如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC90°，ABAC2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【解答】（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC90°，ABAC2，∴∠B∠C45°．∵∠ADC∠B∠BAD，∠ADC∠ADE∠EDC，∴∠ADE∠EDC∠B∠BAD．又∵∠ADE45°，∴45°∠EDC45°∠BAD．∴∠EDC∠BAD．∴△ABD∽△DCE．
（2）解：讨论：①若ADAE时，∠DAE90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若ADDE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是ABAC2，BC2，AEACEC2BD2（22）42③若AEDE，此时∠DAE∠ADE45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且ADDC．由等腰三角形的三线合一可知：AECEAC1．
9．（2015春潍坊校级期末）如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC∠B，CDCE，试说明△ACE∽△BAD．
f【解答】证明：∵CECD，∴∠CED∠CDE，∴∠AEC∠ADB，∵∠DAC∠B，∴△ACE∽△BAD．
10．（2015秋太原期末）如图，在△ABC中，AB8cm，BC16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cms；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cms；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
【解答】解：设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP2t，BP82t，BQ4t，∵∠PBQ∠ABC，
∴当时，△BPQ∽△BAC，即
，解得t2（s）；
当时，△BPQ∽△BCA，即
，解得t08（s）；
即经过2秒或08秒时，△QBC与△ABC相似．
11．（2015秋睢宁县期末）如图，在△ABC中，AB8，AC6，D是AC上的一点，且AD2，试在AB上确定一点E，使得△ADE与原三角形相似，并求出AE的长．
【解答】解：在AB上存在一点E，使得△ADE与△ABC相似，理由是：分为两种情况：①当∠ADE∠C时，如图1：∵∠A∠A，∠ADE∠C，∴△ADE∽△ACB，
∴
∴
，
f∴AE；
②当∠ADE∠C时，如：2：∵∠A∠A，∠ADE∠ACB，∴△ADE∽△ABC，
∴
，
∴
，
∴AE．
∴在AB上存在一点E，使得△ADE与△ABC相似，符合条件的AE的长是或．
12．（2015秋太和县校级期末）如图，已知△ABC中，∠ACB90°r